417. Упражнение.

Относительное движение тяжелой точки, находящейся на идеально гладкой наклонной плоскости Р, которая вращается с постоянной угловой скоростью о вокруг вертикали. Примем за ось направленную вверх ось вращения (рис. 247), за начало О — точку, в которой эта ось пересекает плоскость, за ось — горизонталь плоскости и за ось — перпендикуляр к плоскости Следовательно, триэдр вращается вокруг с угловой скоростью и ее проекции имеют значения Если через обозначить расстояние движущиейся точки от оси то центробежная сила будет равна а ее проекции на оси равны Пусть I — угол наклона плоскости к горизонту, — нормальная реакция плоскости, считаемая положительной, когда она расположена над плоскостью. Тогда, обозначая штрихами производные по будем иметь следующие уравнения относительного движения:

Рис. 247.

Исключим и заменим через (уравнение плоскости Р). Получим

Следовательно, переменные x и у определяются в функции двумя линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Эти уравнения можно проинтегрировать, положив

где А — произвольная постоянная, удовлетворяют условиям

Это уравнение имеет четыре корня попарно равных, но противоположных по знаку; будет вещественным, когда Тогда интегралы будут иметь вид:

За подробностями отсылаем к задачнику де Сен-Жермена (Saint-Germain, Recueil d’Exercices sur la Mfecanique rationnelle, Gauthier-Villars). Точка является положением относительного равновесия.