475. Теорема Лиувилля.

Лиувилль указал очень распространенный случай, когда уравнения движения интегрируются в квадратурах. Рассмотрим систему без трения, связи которой не зависят времени и кинетическая энергия которой выражается в функции параметров в виде

где являются функциями одного только параметра одного только параметра Движение этой системы может быть вычислено при помощи квадратур, когда на нее не действуют никакие силы или, в более общем случае, когда действующие на нее активные силы имеют силовую функцию вида

где зависит только от только от — только от Частный случай этой теоремы был указан в конце первого тома (п. 305).

Метод Якоби дает сразу искомое движение. Переменные в рассматриваемом случае определяются равенствами

Определяя отсюда и подставляя их значения в Т, найдем для функции вследствие однородности Т относительно

Следовательно, уравнение с частными производными Якоби, если положить

будет иметь вид

Оно имеет полный интеграл вида

где зависит только от — только от — только от . В самом деле, подставим это значение в предыдущее равенство и отбросим знаменатель. Мы получим уравнение, которое можно написать так:

Первая скобка зависит только от вторая — только от Так как в уравнении с частными производными эти переменные независимы, то последнее уравнение может быть удовлетворено лишь в том случае, если

каждая скобка в отдельности равна постоянной. Следовательно, мы должны иметь

где обозначают постоянные, сумма которых равна нулю, этих постоянных будут произвольными, и мы имеем

Тогда, интегрируя, получим

Заменяя в выражении (7) функции этими значениями, мы получим полный интеграл с произвольными постоянными Окончательно уравнения движения будут следующие:

Выполняя дифференцирование и применяя соотношение (8), получим

Таким образом, задача разрешена в квадратурах.

Адамар, совершенствуя метод Штауде (Staude), исследовал преобразования этих уравнений для случая, когда интервалы изменения каждого из параметров ограничены с двух сторон (Hadamard, Bulletin des Sciences mathematiques, т. XXXV, 1911).