458. Приложение к относительному движению тяжелой системы по отношению к Земле, принимая во внимание также вращение Земли.

Представим себе в некоторой точке О земной поверхности тяжелую систему подчиненную заданным связям. Мы ставим себе задачей изучить ее относительное движение по отношению к осям связанным с Землей и увлекаемым ею в ее вращательном движении вокруг линии полюсов (рис. 266). Если по методу Жильбера мы проведем через точку О оси имеющие постоянное направление в пространстве, то движение триэдра относительно этих осей будет вращательным с угловой скоостью равной угловой скорости Земли. Оно будет происходить вокруг оси , параллельной направлению с юга на север.

Рис. 26.

Величины вычисляются так, как было указано выше. В частности, Те равно где Н — момент инерции материальной системы относительно оси в момент Вычислим К и силовую функцию действительно приложенных сил (притяжение Земли). Мы знаем, что вес произвольной точки системы есть равнодействующая притяжения и центробежной, силы (п. 424). Применяя точку зрения Жильбера, мы будем рассматривать ускорение как постоянное по величине и направлению относительно Земли во всем объеме системы 5, размеры которой мы будем предполагать очень малыми. Постоянное направление совпадает с нисходящей вертикалью точки О. Силами, действительно приложенными, являются силы притяжения А Землей различных точек системы Но так как есть геометрическая сумма сил А и Ф, то А есть геометрическая разность сил и Ф. При любом перемещении, сообщаемом точке работа силы А равна разности работ сил . Следовательно, окончательно, силовая функция действительно приложенных сил А равна разности силовой функции сил веса и силовой функции сил Ф, а так как высота центра тяжести О над горизонтальной плоскостью в точке О равна то силовая функция для сил тяжести равна где М — вся масса системы.

Силы Ф нормальны к земной оси Поэтому, обозначая через расстояние от точки до этой оси, мы получим для элементарной работы одной из сил Ф значение

Совокупность этих сил имеет силовую функцию

где Н — момент инерции системы относительно оси Земли Отсюда для функции равной разности двух предыдущих функций, получаем

Но мы можем вычислить момент инерции относительно оси через момент инерции Н относительно оси параллельной оси . В самом деле, если через и обозначить расстояния и от центра тяжести до параллельных осей то по известной теореме

С другой стороны, из треугольника обозначая через расстояние очевидно, равное расстоянию от точки О до земной оси, имеем

Величина есть проекция Она равна проекции на или на параллельную ей прямую т. е. она равна Следовательно,

Поэтому

Для того чтобы нолучить значение К., заметим, что начало О системы отсчета вследствие вращения планеты описывает вокруг окружность радиуса с постоянной угловой скоростью Следовательно, ускорение имеет значение оно направлено от О к Отсюда на основании того, что общее выражение К есть — имеем

Наконец, находим

где последний член есть постоянная, которая при дифференцировании пропадает. Кроме того, на основании найденного значения имеем

Если теперь обозначить через параметры, определяющие положение системы относительно осей то уравнения относительного движения будут

Если заменить их значениями, то дополнительно получатся важные сокращения. Преаде всего величина зависит только от рассматриваемого положения точек, но не зависит от их скоростей. Следовательно, эта величина не содержит равно нулю.

Далее член — в левой части равенства равен члену в правой части. Остаются, следовательно, уравнения

Это и будут уравнения, определяющие относительное движение тяжелой системы на поверхности Земли. Мы видим, что для их составления достаточно вычислить