458. Приложение к относительному движению тяжелой системы по отношению к Земле, принимая во внимание также вращение Земли.
Представим себе в некоторой точке О земной поверхности тяжелую систему
подчиненную заданным связям. Мы ставим себе задачей изучить ее относительное движение по отношению к осям
связанным с Землей и увлекаемым ею в ее вращательном движении вокруг линии полюсов
(рис. 266). Если по методу Жильбера мы проведем через точку О оси
имеющие постоянное направление в пространстве, то движение триэдра
относительно этих осей будет вращательным с угловой скоостью
равной угловой скорости Земли. Оно будет происходить вокруг оси
, параллельной направлению
с юга на север.
Рис. 26.
Величины
вычисляются так, как было указано выше. В частности, Те равно
где Н — момент инерции материальной системы
относительно оси
в момент
Вычислим К и силовую функцию
действительно приложенных сил (притяжение Земли). Мы знаем, что вес
произвольной точки системы
есть равнодействующая притяжения и центробежной, силы
(п. 424). Применяя точку зрения Жильбера, мы будем рассматривать ускорение
как постоянное по величине и направлению относительно Земли во всем объеме системы 5, размеры которой мы будем предполагать очень малыми. Постоянное направление
совпадает с нисходящей вертикалью
точки О. Силами, действительно приложенными, являются силы притяжения А Землей различных точек
системы
Но так как
есть геометрическая сумма сил А и Ф, то А есть геометрическая разность сил
и Ф. При любом перемещении, сообщаемом точке
работа силы А равна разности работ сил
. Следовательно, окончательно, силовая функция
действительно приложенных сил А равна разности силовой функции сил веса и силовой функции сил Ф, а так как высота центра тяжести О над горизонтальной плоскостью в точке О равна
то силовая функция для сил тяжести равна
где М — вся масса системы.
Силы Ф нормальны к земной оси
Поэтому, обозначая через
расстояние от точки
до этой оси, мы получим для элементарной работы одной из сил Ф значение
Совокупность этих сил имеет силовую функцию
где Н — момент инерции
системы относительно оси Земли
Отсюда для функции
равной разности двух предыдущих функций, получаем
Но мы можем вычислить момент инерции
относительно оси
через момент инерции Н относительно оси
параллельной оси
. В самом деле, если через
и
обозначить расстояния
и
от центра тяжести
до параллельных осей
то по известной теореме
С другой стороны, из треугольника
обозначая через
расстояние
очевидно, равное расстоянию
от точки О до земной оси, имеем
Величина
есть проекция
Она равна проекции
на
или на параллельную ей прямую
т. е. она равна
Следовательно,
Поэтому
Для того чтобы нолучить значение К., заметим, что начало О системы отсчета
вследствие вращения планеты описывает вокруг
окружность радиуса
с постоянной угловой скоростью
Следовательно, ускорение
имеет значение
оно направлено от О к
Отсюда на основании того, что общее выражение К есть —
имеем
Наконец, находим
где последний член есть постоянная, которая при дифференцировании пропадает. Кроме того, на основании найденного значения
имеем