VII. Принцип наименьшего принуждения Гаусса

Макеты страниц

VII. Принцип наименьшего принуждения Гаусса

504. Формулировка принципа.

Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными близкими движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486); затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем неголономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени.

Мы воспроизводим здесь перевод начала статьи Гаусса вместе с комментарием, которым сопроводил его И. Бертран в приложении IX к третьему изданию «Аналитической механики» Лагранжа (т. II, стр. 357).

«В т. IV Crelles Journal Гаусс опубликовал красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее изящным их выражением, какое только им было придано; французские читатели будут нам благодарны, если мы приведем здесь перевод нескольких страниц, посвященных знаменитым геометром изложению этого нового принципа.

Как известно, принцип виртуальных скоростей превращает любую проблему статики в вопрос чистой математики, а с помощью

принципа Даламбера динамика в свою очередь сводится к статике. Отсюда следует, что ни один основной принцип равновесия или движения не может существенно отличаться от двух упомянутых нами выше принципов и что, каков бы ни был этот основной принцип, его всегда можно рассматривать как более или менее непосредственный вывод из двух упомянутых принципов.

Это не значит, что всякая новая теорема не заслуживает поэтому никакого внимания. Наоборот, всегда интересно и поучительно исследовать законы природы с новой точки зрения, придем ли мы при этом к более простой трактовке того или иного частного вопроса или достигнем лишь большей точности формулировок.

Великий геометр (Лагранж), столь блестяще обосновавший науку о движении на принципе виртуальных скоростей, не пренебрег возможностью улучшить и обобщить принцип Мопертюи, касающийся наименьшего действия, и, как известно, этот принцип зачастую с большой пользой применяется геометрами.

Подлинный характер принципа виртуальных скоростей заключается в том, что этот принцип является, так сказать, общей формулой, решающей задачи статики, и что, следовательно, он может занять место всякого другого принципа. Однако он не носит на себе печати абсолютной очевидности, которая убеждает, как только ознакомишься с его изложением.

С этой точки зрения основная теорема, которую я собираюсь изложить, должна, мне кажется, получить предпочтение; сверх того, она обладает тем преимуществом, что одновременно охватывает общие вопросы равновесия и движения.

Если для развития науки и для индивидуального исследования представляется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более трудным, и от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в силу которого вся статика представляется ему в качестве частного случая динамики

Новый принцип заключается в следующем.

Движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. оно происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, примененного в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной.

Пусть - массы точек, — их соответственные положения в момент

— места, какие они заняли бы по истечении некоторого бесконечно малого промежутка времени под влиянием действующих на них сил и скорости, приобретенных ими к началу этого промежутка.

Приведенный выше принцип гласит, что положения которые эти точки займут, являются между всеми положениями, допускаемыми наложенными на них связями, такими, для которых сумма

является минимумом.

Равновесие является частным случаем общего закона; оно имеет место в том случае, когда точки не имеют скорости и сумма

является минимумом или, другими словами, когда сохранение системы в состоянии покоя является более близким к свободному движению всех точек системы в случае упразднения связей, чем к возможным перемещениям, допускаемым связями.»

Доказательство. В момент точка занимает положение а с координатами она обладает скоростью, проекции которой равны первым производным от координат х, у, z по времени, и ускорением, проекции которого равны вторым производным от координат х, у, z по времени; наконец, кроме реакций связей, на нее действуют заданные силы, равнодействующая которых имеет проекции . В действительном движении системы координаты х, у, z являются функциями времени; в момент точка занимает положение а, в момент она занимает положение с. По формуле Тэйлора, если ограничиться тремя первыми членами, координаты точки с будут

Если бы в момент точка стала свободной, т. е. если бы связи были внезапно отброшены, то эта точка имела бы ускорение, проекции которого в силу основного закона механики (п. 69) равнялись бы и ее положение по истечении промежутка времени определялось бы формулами, аналогичными предыдущим, в которых нужно было бы заменить величинами

. Следовательно, для координат точки имеем

вектор имеет проекции

а проекции вектора получаемого умножением на массу, равны

Отсюда на основании общего уравнения динамики

т. е. сумма работ векторов вида равна нулю при любом возможном перемещении, допускаемом связями.

Пусть - положения, бесконечно близкие к положениям которые могут принимать точки не нарушая связей системы. Работа вектора на возможном перемещении равна

Необходимо, чтобы сумма этих работ

была равна нулю для всех положений допускаемых связями.

Но очевидно, что

и поэтому

Так как последняя сумма равна нулю, то

и поэтому разность

всегда положительна. Она равна нулю только в том случае, если точки совпадают с точками Отсюда

сумма является всегда минимумом, что и требовалось доказать.

Аналитическая формулировка принципа Гаусса. На основании указанных выше выражений для проекций векторов имеем:

Если в другом движении, допускаемом связями, точки за тот же промежуток времени приходят в положение то ускорения будут иметь другие значения обусловленные связями, и точно так же мы найдем

Так как всегда меньше чем то можно сказать:

В каждый момент времени среди всех ускорений, обусловленных связями, действительными ускорениями различных точек системы будут те, которые обращают в минимум функцию

второй степени относительно

Такова аналитическая формулировка принципа Гаусса.

Мы обязаны А. Майеру из Лейпцига за следующие исторические и библиографические сведения. Аналитическая формулировка принципа Гаусса была указана еще Якоби в одной из неопубликованных лекций; независимо от Якоби она была дана Шеффлером (Scheffler, III Band der Schlomilchschen Z., стр. 197). Она воспроизведена у Маха (Die Mechanik in ihren Entstehung historischkritisch dargestellt, Leipzig, 1883), у Герца (Gesammelte Werke, т. Ill) и у Больтцмана (Vorlesungen iiber die Principien der Mechanik, Leipzig, 1897). Уиллярд Гиббс в одной из своих работ (Willard Gibbs, On the fondamental formuloe of Dynamics, American Journal of Mathematics, т. II, 1879) указал приложения этой аналитической формулировки к различным задачам, в особенности к вопросу о вращении твердых тел; наконец, Майер также пользовался этой формулировкой в интересной статье под названием Ueber die Aufstellung der Differentialgleichungen der Bewegung fur Reibungslose Punktsysteme, die Bedingungsungleichungen unterworfen sind und Zur Regulierung der StOsse in Reibungslosen Punktsystemen, die dem Zwange von Bedingungsungleichungen unterliegen (Abdruck aus .den Berichten der mathematisch-physikalischen Klasse der konigl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Sitzung vom 3 Juli 1889).

Можно также указать на статью Хельдера, заключающую в себе сравнение различных принципов (Ное1dег, Ueber die Principien von

Hamilton und Maupertius, Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissen-schaften zu Gottingen, 1896, Heft 2). Отметим, наконец, статью Bacсмута Das Restglied bei der Transformation des Zwanges in allgemei-nen Coordinaten (Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wis-senschaften in Wien, т. CX, часть II, апрель 1901).

Общая форма уравнений динамика. Отметим в заключение, что с аналитической формулировкой принципа Гаусса можно связать найденную выше (п. 465) общую форму уравнений динамики (Journal de Crelles, т. 121 и 122 и Journal de Mathematiques pures et appliqudes de Jordan, premiers fascicules, 1901 и 1902). Пусть дана произвольная система, в которой наиболее общее возможное перемещение, допускаемое связями, определяется вариациями Для произвольной точки системы имеем:

откуда для суммы возможных работ приложенных сил получаем

где

С другой стороны, действительное перемещение системы за промежуток времени получится, если увеличить на Тогда для действительного перемещения точки имеем:

Разделим эти равенства на и применим обозначения Лагранжа для производных. Получим:

Отсюда, дифференцируя еще раз по времени, имеем:

Если мы подставим значения (2) в сумму (1), обозначенную через то она обратится в функцию второй степени относительно величин На основании формул (2) возможные ускорения точек определяются различными значениями, Которые можно приписывать величинам Значения же соответствующие действительному движению, получатся, если приравнять нулю частные производные от суммы по так как действительные ускорения точек должны обратить сумму в минимум. Напишем эту сумму: