5.8. ТОЖДЕСТВО УОРДА—ТАКАХАШИ

Вернемся теперь к использованию символов и перепишем (165) в более явной форме:

Средние зависят от всех шести источников, но, поскольку не участвуют в преобразовании Лежандра, можно показать, что

где производные в правых частях относятся только к явной зависимости Г от . Этот результат в сочетании с уравнением (163) в виде позволяет переписать (148) в виде

Это и есть тождество Уорда — Такахаши.

Тождество Уорда — Такахаши имеет важную связь со структурой Г. Тот факт, что из него следует существование определенного рода симметрии, присущей Г, становится очевидным, если заметить, что в силу своей БРС-инвариантности также удовлетворяет тождеству Уорда — Такахаши. К сожалению, вывести из соотношения (170) симметрию Г — намного более трудная задача. В принципе можно было бы поступить следующим образом. Предположим, что Г можно разложить в ряд по степеням

Такое предположение априори не является обращением к теории возмущений, поскольку это разложение должно быть произведено после взятия функционального интеграла (144). Оно основано на серьезной уверенности в том, что (144) ведет себя гладко (по крайней мере после соответствующих перенормировок) при устремлении к нулю следовательно,

При определении того, какие типы членов могут появиться в разложении, полезно ввести понятие «духова числа Если приписывать «духовы числа»: 1 — полю и источнику источнику и источникам — источнику то легко увидеть, что подынтегральное выражение в (144) и сам интеграл имеют полное «духовое число» 0. Следовательно, и Г имеют полное «духовое число» 0, и все члены в разложении также обладают этим свойством. Кроме того, разложение не может содержать члены старше первой степени по М, поскольку М — антикоммутирующая постоянная.

Если подставить это разложение в равенство (170) и собрать вместе члены одинаковых степеней, то получится бесконечная последовательность дополнительных тождеств Уорда — Такахаши, связывающих коэффициенты, зависящие от К сожалению, по-видимому, нет никакого легкого способа получить из этих тождеств какие-либо простые выводы относительно ситуации в целом. До сих пор тождество (170) применялось лишь к перенормируемым моделям по теории возмущений порядок за порядком. В этих случаях тождество сослужило большую службу как в практических деталях осуществления ренормализационной программы, так и при демонстрации того, что теория действительно перенормируема во всех порядках и при этом сохраняется унитарность.

Тождество Уорда — Такахаши должно играть столь же важную роль в квантовой гравитации. В частности, ожидается, что оно приведет к следующему результату, который, как обнаружилось, выполняется в перенормируемых теориях: когда все источники обращаются в нуль, уравнение (163) должно эффективно сводиться к уравнению

где функционал Г калибровочно-инвариантен:

В квантовой гравитации (171) есть как раз уравнение (26), причем Г есть приведенное эффективное действие. Однако доказательство того, что все на самом деле именно так и обстоит, остается пока программой на будущее.