4. ОДНОПЕТЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В низшем приближении правая часть уравнения (23) может быть найдена путем подстановки в выражение для подходящих операторных решений уравнений где «лин» означает «сохранить только часть, линейную

по В этом приближении поля Ф и не взаимодействуют друг с другом (и с самими собой), а лишь линейно распространяются на фоне Для самосогласованности (на этом уровне) достаточно сохранить в разложении в ряд только члены, квадратичные по Получаемое значение известно как однопетлевое приближение. Именно это приближение имеют обычно в виду, когда рассматривают тензор натяжений. Оно лежит в основе известных результатов, упомянутых в предыдущих разделах. К сожалению, из-за того, что квантовая гравитация технически неперенормируема, удовлетворительный во всех отношениях способ придать смысл этой теории в более высоких порядках пока не известен.

В этом обзоре перенормировка рассматривается только в однопетлевом приближении. Хотя при этом наше понимание квантовой гравитации будет неполным, следует заметить, что однопетлевое приближение в полевой теории эквивалентно ВКБ-приближению обычной квантовой механики. Поэтому есть основания ожидать, что, как и в обычной квантовой механике, оно приведет по меньшей мере к прояснению некоторых существенных сторон точной теории.

При исследовании однопетлевого приближения удобно ввести функционал фоновой метрики, определяемый равенством

Из уравнений (1), (21), (24) следует

Перенормировка очевидно, может быть достигнута перенормировкой В действительности только такая процедура гарантирует от ошибок. Вспоминая, что фоновая метрика удовлетворяет уравнениям поля в пустом пространстве, мы видим, что из (23) и (29) следует уравнение

В однопетлевом приближении оно эквивалентно уравнению

которое позволяет в данном порядке отождествить сумму с частью эффективного действия, не зависящей от Поскольку именно эффективное действие описывает реальную физику данной теории, то отсюда следует, что ни ни по отдельности не имеют физического смысла, а имеет смысл только их сумма Если содержит члены, подобные членам, имеющимся в то только суммы соответствующих коэффициентов могут быть определены экспериментально как наблюдаемые «константы

взаимодействия». Если какие-либо члены в имеют расходящиеся коэффициенты, они могут быть скомпенсированы «контрчленами» в Вообще говоря, могут быть также и конечные члены, подлежащие компенсации.

В однопетлевом приближении расходимости операторного тензора натяжений такие же, как у его швингеровского среднего, и потому являются с-числами. Перенормированный тензор натяжений определяется как

где — максимальная часть которая может быть скомпенсирована контрчленами в удовлетворяющими следующим условиям: 1) используются только такие типы контрчленов, которые нужны для того, чтобы был свободен от расходимостей; должен обращаться в нуль в плоском пустом пространстве-времени; 3) выражение для должно быть координатно-инвариантным: 4) производная должна зависеть от фоновой геометрии только локально. Координатная инвариантность гарантирует, что условие (22) останется справедливым после проведения перенормировки. Это одно из наиболее важных оснований для того, чтобы перенормировать сначала а затем получить как производную величину. Если иметь дело непосредственно с всегда есть опасность, что условие (22) будет нарушено.