5.1. КАЛИБРОВОЧНАЯ ГРУППА

Единственный другой тип индекса, который будет введен, — это нижний греческий индекс из начала алфавита, называемый групповым индексом. Рассмотрим диффеоморфизм, который порождается смещением пространственно-временных точек на вариантный вектор — На координатном языке соответствующее преобразование можно записать в виде а изменение в

результате такого преобразования имеет вид

Преобразование (95) называется калибровочным преобразованием, а соответствующая группа диффеоморфизмов называется калибровочной группой квантовой гравитации.

Нетрудно показать, что величина в квадратных скобках под интегралом в (95) является битензорной плотностью, преобразующейся как ковариантный тензор в точке х и как ковариантная векторная плотность веса 1 в точке х. В компактных обозначениях мы заменим эту величину символом и перепишем (95) в виде

Здесь индексы заменены индексом а индексы заменены групповым индексом а.

Уравнение (96) выражает действие упомянутого выше диффеоморфизма в пространстве метрических тензоров Это действие является реализацией диффеоморфизма. Величины удовлетворяют важному тождеству, возникающему в силу того факта, что диффеоморфизмы образуют группу

Здесь (и далее везде) запятыми обозначается функциональное дифференцирование по Постоянные с являются структурными константами калибровочной группы и удовлетворяют циклическому тождеству

Очевидно, что множество значений, которые пробегают групповые индексы, можно расширить так, чтобы включить в рассмотрение другие калибровочные группы, ассоциированные с другими полями (например, с полями Янга — Миллса). Компактные обозначения, в частности в равенствах (97) и (98), остаются прежними. Допуская в отношении структурных констант антикоммутативность и обобщенные симметрии, можно включить сюда даже суперкалибровочные группы.

Замечательным и часто используемым фактом является то, что поля, которые встречаются на практике, осуществляют линейную реализацию соответствующих калибровочных групп. Это означает, что функциональные производные не зависят от , если их рассматривать как непрерывные матрицы (по и ), дают матричное представление алгебры Ли, ассоциированной с группой. Конечно, эта простота, вообще говоря, теряется, если заменяются их нелинейными функциями. Но замечательно то, что, как правило, имеется «естественный» набор полевых переменных, для которых величины являются линейными функционалами.