результате такого преобразования имеет вид
Преобразование (95) называется калибровочным преобразованием, а соответствующая группа диффеоморфизмов называется калибровочной группой квантовой гравитации.
Нетрудно показать, что величина в квадратных скобках под интегралом в (95) является битензорной плотностью, преобразующейся как ковариантный тензор в точке х и как ковариантная векторная плотность веса 1 в точке х. В компактных обозначениях мы заменим эту величину символом
и перепишем (95) в виде
Здесь индексы
заменены индексом
а индексы
заменены групповым индексом а.
Уравнение (96) выражает действие упомянутого выше диффеоморфизма в пространстве метрических тензоров
Это действие является реализацией диффеоморфизма. Величины
удовлетворяют важному тождеству, возникающему в силу того факта, что диффеоморфизмы образуют группу
Здесь (и далее везде) запятыми обозначается функциональное дифференцирование по
Постоянные с являются структурными константами калибровочной группы и удовлетворяют циклическому тождеству
Очевидно, что множество значений, которые пробегают групповые индексы, можно расширить так, чтобы включить в рассмотрение другие калибровочные группы, ассоциированные с другими полями (например, с полями Янга — Миллса). Компактные обозначения, в частности в равенствах (97) и (98), остаются прежними. Допуская в отношении структурных констант антикоммутативность и обобщенные симметрии, можно включить сюда даже суперкалибровочные группы.
Замечательным и часто используемым фактом является то, что поля, которые встречаются на практике, осуществляют линейную реализацию соответствующих калибровочных групп. Это означает, что функциональные производные
не зависят от
, если их рассматривать как непрерывные матрицы (по
и
), дают матричное представление алгебры Ли, ассоциированной с группой. Конечно, эта простота, вообще говоря, теряется, если
заменяются их нелинейными функциями. Но замечательно то, что, как правило, имеется «естественный» набор полевых переменных, для которых величины
являются линейными функционалами.