12.2.1. Нормальное распределение.
Функция нормального распределения с математическим ожиданием
и дисперсией о имеет вид:
Поскольку
достаточно уметь вычислять функцию
называемую стандартной функцией нормального распределения
где
— плотность стандартного нормального закона. Отметим следующее свойство функции
Для функции
известны в настоящее время многочисленные разложения в ряды и непрерывные дроби, приближения полиномами Чебышева на различных интервалах, пригодные для вычисления значений
Здесь мы, однако, приведем лишь небольшое число аппроксимационных формул, удобных для программирования.
Аппроксимационные формулы для функции распределения:
где
Менее точная аппроксимация подобного типа:
(12.7)
Погрешность
этого приближения не превышает
Приведем еще аппроксимационную формулу, не требующую вычисления плотности
Имеется аппроксимационная формула типа (12.8) с погрешностью
формула (26.2.19)].
Приведенные выше аппроксимации позволяют вычислить значения
с необходимой в практических приложениях точностью.
Обратную функцию для нормального распределения
будем обозначать через
. Имеет место соотношение
где
— функция, обратная для стандартного нормального закона, т. е.
Так как при всех
, то практически нужно уметь вычислять значения
в полуинтервале
.
Приведем следующие аппроксимационные формулы, полученные модификацией формул (26.2.22) и (26.2.23) из [1] (в обеих формулах
Погрешность
Интересно разложение для
вида
(12.11)
Первые четыре коэффициента разложения:
Применение отрезка ряда с первыми четырьмя членами дает необходимую для практических применений точность в интервале