Глава 7. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Выше изложены основные понятия теории вероятностей, включая набор моделей законов распределения, наиболее распространенных в теории и практике статистической обработки данных. Настоящая глава посвящена описанию некоторых связей, существующих между этими понятиями и моделями, а также отдельных их свойств, полезных для понимания сущности излагаемых далее методов вероятностно-статистического моделирования и первичной обработки данных.

7.1. Неравенство Чебышева

В п. 5.6.3 мы познакомились с основной характеристикой степени случайного разброса значений случайной величины — с ее дисперсией . Из смысла этой характеристики следует, что вероятность зафиксировать при наблюдении случайной величины значение, отклоняющееся от ее среднего не менее чем на заданную величину , должна расти с ростом . Чем больше величина дисперсии тем более вероятны значительные отклонения значений исследуемой случайной величины от своего центра группирования . Конечно, зная плотность (или полигон) распределения вероятностей можно точно вычислить вероятность событий вида , а именно

Так, например, если подчиняется -нормальному закону распределения, то вероятность событий вида зависит только от того, сколько раз в заданной величине отклонения А «уложится» среднеквадратическое отклонение

Однако хотелось бы уметь оценивать вероятности таких событий, опираясь только на знание величины дисперсии не обращаясь к точному знанию закона распределения анализируемого признака Именно эта задача и решается с помощью неравенства, выведенного русским математиком П. Л. Чебышевым:

где

Доказательство этого неравенства несложно:

случае дискретного признака доказательство проводится аналогично с заменой «элементов вероятностей» вероятностями , а интегралов — соответствующими суммами).

Из хода доказательствавидно, что если распределение исследуемого признака симметрично (относительно ), то имеют место и односторонние аналоги неравенства:

Как и всякий общий результат, не использующий сведения о конкретном виде распределения случайной величины , неравенство Чебышева дает лишь грубые оценки сверху для вероятностей событий вида .

Так, например, если оценивать вероятность события для нормального признака не зная, что он подчиняется гауссовскому закону (т. е. используя неравенство Чебышева), то получим

Интересно сравнить эту величину с точным значением этой же вероятности, которое получается с помощью таблиц нормального распределения и равно 0,0027: мы видим, что точное значение вероятности в 40 (!) раз меньше ее грубой оценки, полученной на основании неравенства Чебышева.