Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Четные подстановки. Знакопеременная группаКак мы видели выше, любая подстановка разлагается в произведение транспозиций. Вообще говоря, одну и ту же подстановку можно представить в виде произведения транспозиций многими различными способами. Например, очевидно, что
(формулы (1) и (2) выражают, как легко видеть, один и тот же факт, но в различных обозначениях). Лемма. Если произведение нескольких транспозиций равно тождественной подстановке, то число этих транспозиций четно. Мы докажем эту лемму индукцией по числу s различных чисел, входящих в записи данных транспозиций. Наименьшее возможное значение числа s равно, очевидно, двум. Если Предполагая теперь, что лемма уже доказана для любого произведения транспозиций, записи которых содержат менее s различных чисел, рассмотрим некоторое, равное тождественной подстановке произведение транспозиций
в записи которых входит ровно s различных чисел. Пусть I — одно из этих чисел. Пользуясь соотношением (1) и тем, что независимые транспозиции перестановочны, мы можем «переместить вперед» все транспозиции, в запись которых входит число i, т. е. перейти от произведения (3) к равному произведению вида
в котором все числа
мы можем от произведения (4) перейти к произведению такого же вида, но с меньшим
Но это произведение переводит, очевидно, число Остается заметить, что при описанных преобразованиях число транспозиций либо не меняется (когда мы пользуемся соотношениями (1), (2)), либо уменьшается на две единицы (когда мы пользуемся соотношением Пусть теперь некоторая подстановка а двумя способами разложена в произведение транспозиций:
(первое разложение содержит
и, следовательно, по доказанной лемме, число Таким образом, числа Подстановка называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетной — в противном случае. Согласно доказанной теореме, четность подстановки не зависит от выбора ее разложения в произведение транспозиций. Любая транспозиция, или вообще любой цикл четной длины, является нечетной подстановкой, а любой цикл нечетной длины, в частности любой цикл длины 3, является четной подстановкой. Тождественная подстановка, очевидно, четна. Если
— разложение подстэновки а в произведение транспозиций, то
откуда следует, что подстановка, обратная - четной подстановке, четна, обратная нечетной — нечетна. Далее, если
то
Поэтому произведение двух четных или двух нечетных подстановок является четной подстановкой, произведение четной и нечетной подстановок является нечетной подстановкой. Отсюда следует, что совокупность всех четных подстановок (данной степени Так как для любой четной подстановки а и произвольной подстановки b произведение
|
1 |
Оглавление
|