4. Строение знакопеременной и симметрической групп

Изучим строение группы при различных значениях . Для знакопеременная группа состоит только из тождественной подстановки .

Для знакопеременная группа имеет порядок и, следовательно, циклична. В качестве ее образующей можно принять любую четную подстановку (например, цикл ).

Для знакопеременная группа имеет порядок и состоит из следующих элементов:

Легко проверяется, что

Следовательно, подстановки образуют подгруппу группы . Эта подгруппа называется клейновской группой и обозначается . Группа абелева и имеет порядок 4. Далее легко проверить, что

Следовательно, группа является нормальным делителем группы Соответствующая факторгруппа имеет порядок 3 и поэтому является циклической группой.

Так как группа абелева, то любая ее подгруппа, на пример циклическая подгруппа второго порядка, состоящая из тождественной подстановки и подстановки является нормальным делителем (группы , но не всей группы ). Порядок факторгруппы равен двум, и следовательно, эта факторгруппа является циклической группой.

Таким образом, цепочка подгрупп

является разрешимым рядом группы . Тем самым доказано, что группа разрешима.

Группы также, очевидно, разрешимы. Таким образом, для группа разрешима.

Рассмотрим теперьслучай Пусть N — произвольный нормальный делитель группы отличный от . Поскольку , то в N существует хотя бы одна подстановка . Разложение подстановки t в произведение независимых циклов может иметь одну из следующих четырех форм:

1) (имеется цикл длины 4);

2) (имеется цикл длины 3 и еще другие циклы);

3) (подстановка t является циклом длины 3);

4) (подстановка t разлагается в произведение независимых транспозиций)

(подстановка t четна и поэтому не может быть транспозицией; многоточия обозначают некоторые числа или циклы, которые могут и отсутствовать). Так как N является нормальным делителем, то для любой четной подстановки подстановка , а следовательно, и подстановка принадлежат N. В зависимости от того, какую из указанных выше форм имеет подстановка t, мы выберем подстановку следующим образом:

Сосчитав в каждом из четырех случаев подстановку мы получим, что

Таким образом, если в нормальном делителе N существует подстановка t вида 1), то существует и подстановка вида 3). Если же существует подстановка вида 2), то существует подстановка вида 1) и, следовательно, по только что сказанному, подстановка вида 3). Наконец, если существует подстановка вида 3) или 4), то существует подстановка, являющаяся произведением точно двух независимых транспозиций. Таким образом, в N обязательно существует подстановка, являющаяся произведением точно двух независимых транспозиций. Пусть это будет подстановка

Пусть теперь произвольная подстановка, являющаяся произведением двух независимых транспозиций. Рассмотрим подстановку

где на месте точек стоят произвольные числа (конечно, в верхней строчке эти числа отличны от чисел а в нижней — от чисел ). Легко видеть, что

Кроме того, обозначая для упрощения формул подстановку через b, мы получим, что

то есть, что

Подстановки а и b, отличаясь транспозицией, имеют различную четность, т. е. одна из них четна, а другая нечетна. Обозначим четную из подстановок а и b через с, т. е. положим если подстановка а четна, и если подстановка b четна. По доказанному

Так как является, по условию, нормальным делителем в , то отсюда вытекает, что . Таким образом, мы доказали, что нормальный делитель N содержит все подстановки, являющиеся произведениями двух независимых транспозиций.

Рассмотрим теперь подстановку, являющуюся произведением двух зависимых транспозиций. Такая подстановка имеет вид . Так как по условию , то существуют два различных числа и , не превосходящих и отличных от чисел Подстановки являясь произведениями двух независимых транспозиций, по доказанному принадлежат нормальному делителю N. Но

и, следовательно, подстановка также принадлежит N. Таким образом, нормальному делителю N принадлежит любая подстановка, являющаяся произведением двух произвольных транспозиций, а следовательно, и любая подстановка, являющаяся произведением произвольного четного числа транспозиций, т. е. любая четная подстановка. Поэтому нормальный делитель N содержит все четные подстановки, т. е.

Таким образом, если , то . Другими словами, группа не имеет никаких нормальных делителей, кроме тривиальных, т. е. является простой группой. Итак, мы доказали, что для знакопеременная группа проста и, следовательно, неразрешима (ибо простые разрешимые группы исчерпываются циклическими группами простого порядка).

Заметим, что для группа очевидно, также проста.

Из доказанных результатов относительно группы немедленно вытекает, что для симметрическая группа разрешима (ибо она обладает следующим разрешимым рядом:

а для группа неразрешима (ибо она содержит неразрешимую группу ).