2. Примарные группы

Пусть О — произвольная группа. Ее элемент называется центральным, если он перестановочен с любым элементом группы О, т. е. если для любого элемента имеет место равенство

В абелевых группах (и только в них) все элементы центральны. В произвольной группе единица всегда центральна.

Совокупность Z всех центральных элементов группы О называется ее центром. Легко видеть, что центр любой группы является ее (очевидно, абелевым) нормальным делителем (возможно состоящим лишь из единицы ). Действительно, во-первых, он непуст (содержит единицу ), во-вторых, является подгруппой (если то для любого элемента имеет место равенство , в-третьих, для любого элемента из включения вытекает включение

Элемент группы О называется сопряженным элементу g, если существует такой элемент что Совокупность всех элементов группы О, сопряженных некоторому элементу называется классом сопряженных элементов (определенным элементом g) и обозначается символом

Каждый класс содержит элемент g (ибо ), любой элемент класса определяет тот же класс, т. е. (действительно, по условию и если то ), , а если так что любые два класса либо совпадают, либо не пересекаются. Таким образом, группа О распадается на непересекающиеся классы сопряженных элементов.

Понятие класса сопряженных элементов тесно связано с понятием нормального делителя. Именно, подгруппа Н группы О тогда и только тогда является нормальным делителем этой группы, когда для любого элемента весь класс содержится в Н. Другими словами, нормальные делители можно определить как подгруппы, состоящие из нескольких полных классов сопряженных элементов.

Класс вполне может состоять лишь из одного элемента. Очевидно, что это имеет место тогда и только тогда, когда элемент g централен.

Рассмотрим теперь совокупность всех элементов группы О, перестановочных с элементом т. е. совокупность всех таких элементов что

Эта совокупность непуста (ибо содержит все степени элемента g) и является подгруппой группы О (докажите!). Она называется централизатором элемента g в группе О. Очевидно, что элемент g тогда и только тогда централен, когда его централизатор совпадает со всей группой О.

Каждому элементу класса сопоставим смежный класс группы О по централизатору положив , где h — такой элемент группы О, что

Легко видеть, что это определение законно, т. е. смежный класс не зависит от выбора элемента h. Действительно, если , то и. потому

Далее, легко видеть, что если где то

Действительно, пусть . Тогда равенство означает, что . Поэтому .

Наконец, очевидно, что любой смежный класс группы О по подгруппе имеет вид где (за элемент можно принять элемент ).

Таким образом, отображение осуществляет взаимнооднозначное соответствие между классом и множеством всех смежных классов группы О по централизатору Следовательно, (предполагается, конечно, что класс состоит из конечного числа элементов) число элементов, содержащихся в классе равно индексу централизатора

Для конечной группы отсюда и из теоремы Лагранжа вытекает, что число элементов, содержащихся в любом классе сопряженных элементов конечной группы О делит порядок этой группы.

Применим эти общие теоремы (относящиеся к произвольным группам) к так называемым примарным (по некоторому простому числу ) группам, которые определяются как конечные группы, порядок которых имеет вид где

В первую очередь мы докажем, что любая примарная группа О содержит отличные от единицы центральные элементы.

Действительно, как мы знаем, группа О распадается на непересекающиеся классы сопряженных элементов. Пусть -числа элементов этих классов. Тогда сумма равна порядку группы О:

Все числа делят порядок , где причем хотя бы одно из этих чисел равно единице (так как существует класс — именно класс, определяемый единицей группы О, — состоящий только из одного элемента). Отсюда и из равенства (1) вытекает, что по крайней мере чисел равны единице, т. е. что существует по крайней мере центральных элементов. Теорема доказана.

Докажем теперь, что любая примарная группа О разрешима.

Пусть — порядок группы О. Проведем доказательство индукцией по числу . Для (а также для теорема очевидна. Предполагая, что теорема уже доказана для всех примарных групп порядка где рассмотрим центр Z группы О. По только что доказанному порядок центра Z отличен от единицы, т. е. имеет вид , где . Поэтому порядок факторгруппы меньше и следовательно, по предположению индукции, эта факторгруппа разрешима. Таким образом, группа О обладает разрешимым (дажа абелевым) нормальным делителем Z, факторгруппа по которому разрешима. Следовательно (см. ч. II, гл. 1, п. 4), сама группа G также разрешима.