Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному видуПокажем в заключение, что любое уравнение
пятой степени может быть приведено к нормальному виду. С этой целью мы введем новое неизвестное у, полагая
где
и приравнять его нулю. В результате мы получим уравнение
Раскрывая этот определитель, мы получим, что уравнение для у имеет вид
где Легко видеть, что степень многочлена Выберем теперь параметры
т. е. чтобы уравнение для у имело нормальный вид
Первое уравнение
второй и третьей степени относительно параметров Выражение Согласно теории приведения квадратичных форм (см. Курс, стр. 175), эту форму можно представить в следующем виде:
где
мы автоматически удовлетворим и квадратному уравнению Решив уравнения
Выбирая произвольно параметр Тем самым показано, что преобразованием (2) любое уравнение (1) можно привести к нормальному виду (3). Получающееся уравнение (3) будет уравнением уже не над полем Р, а над некоторым большим полем Q, порожденным над полем Р корнями квадратных и кубичных уравнений. Поскольку квадратные и кубичные уравнения разрешимы в радикалах, уравнение (1) тогда и только тогда разрешимо в радикалах над полем Р, когда над полем Q разрешимо в радикалах уравнение (3). Поскольку на вопрос о разрешимости в радикалах уравнения (3) мы отвечать умеем, отсюда следует, что для любого уравнения пятой степени (1) мы можем эффективно ответить на вопрос, разрешимо оно в радикалах или нет.
|
1 |
Оглавление
|