Макеты страниц 2. Сведение основной теоремы к двум частным случаямВ этом пункте мы покажем, что для доказательства сформулированной в конце предыдущего пункта основной теоремы этой главы достаточно доказать следующие ее частные случаи. Теорема А. Если поле Р содержит все корни из единицы степени Теорема В. Любое расширение вида В первую очередь мы рассмотрим случай, когда рассматриваемое радикальное расширение К поля Р является простым радикальным расширением, т. е. имеет вид
а С — первообразный корень из единицы степени n. Согласно теореме В, существует такое неприводимо-радикальное расширение L поля Р, что
Поле К является простым радикальным расширением поля L, определяемым уравнением (1) степени Заметим теперь, что из определения неприводимо-радикального расширения непосредственно вытекает следующая Лемма. Если поле Q является неприводимо-радикальным расширением некоторого поля, которое в свою Очередь представляет собой неприводимо-радикальное расширение поля Р, то поле Q является неприводиморадикальным расширением и поля Р. Согласно этой лемме, построенное выше поле К является неприводимо-радикальным расширением поля Р. Тем самым в рассматриваемом частном случае наша основная теорема доказана, ибо поле К содержит, очевидно, поле К. Пусть теперь К — произвольное радикальное расширение Поля Р, и пусть
— некоторый его радикальный ряд. Проведем индукцию по числу s. Для Пусть она уже доказана для числа ![]()
|
Оглавление
|