7.2.6. Информационные матрицы при больших выборках и оценки ковариаций
Обозначим через 
матрицу размером 
из значений 
и 
, определенных в
(7.2.13) и (7.2.14), в случае, когда элементы 
— истинные значения параметров; пусть
размер выборки 
достаточно
велик, так что можно пренебречь концевыми эффектами. Тогда информационная
матрица для смешанной модели АРСС будет
(7.2.18)
где 
и 
— автоковариации и и 
— взаимные ковариации,
определенные как
.
Выборочная ковариационная матрица для
оценок максимального правдоподобия в случае больших выборок может быть получена
из соотношения
.
Оценки 
и, следовательно, 
можно получить,
вычисляя и
при 
и опуская знак
математического ожидания в (7.2.17) или подстановкой стандартных выборочных
оценок автокорреляций и взаимных корреляций в (7.2.18). Теоретические выражения
для больших выборок можно получить, используя тот факт, что когда элементы равны истинным
значениям параметров, из уравнений (7.2.13) и (7.2.14) следует, что производные
и 
являются процессами
авторегрессии:
.
Отсюда автоковариации, присутствующие в
(7.2.18), соответствуют чистым процессам авторегрессии, а взаимные ковариации
обратны по знаку взаимным ковариациям между этими процессами, генерируемыми
теми же 
.
Проиллюстрируем этот результат на
нескольких примерах.
Ковариационная матрица оценок
параметров для процессов 
и 
. Пусть 
— автоковариационная матрица
размера 
для
последовательных
наблюдений процесса с параметрами 
. Пользуясь (7.2.18), находим
ковариационную матрицу оценок 
размера
. (7.2.19)
Пусть 
— автоковариационная матрица размера 
последовательных наблюдений
процесса с
параметрами 
.
Тогда, пользуясь (7.2.18), получаем ковариационную матрицу оценок 
размера .
. (7.2.20)
Иногда полезно параметризовать процесс
АРСС через корни многочленов 
и 
. В этом случае ковариационная матрица
оценок параметров имеет особенно простую форму.
Ковариация
корней многочленов, соответствующих процессу АРСС. Рассмотрим
процесс АРСС 
,
параметризованный через корни , (они предполагаются действительными),
так что
или
.
Производные
тогда
имеют вид
Отсюда,
пользуясь (7.2.18), получаем для больших выборок информационную матрицу для
корней
(7.2.21)
АР(2). В частности, для процесса
авторегрессии второго порядка
,
(7.2.22)
В точности аналогичные формулы можно
получить для процесса скользящего среднего второго порядка.
APCC(1, 1). Таким же
образом для процесса 
,
и, подставив 
и 
в (7.2.21), получаем
(7.2.23)
Результаты для этих двух процессов
иллюстрируют их двойственность, рассмотренную в приложении П7.5.
