3.2.4. Процесс авторегрессии второго порядка
Условие
стационарности. Процесс
авторегрессии второго порядка записывается в виде
. (3.2.16)
Для стационарности процесса необходимо,
чтобы корни уравнения
. (3.2.17)
лежали вне единичного круга, т. е. чтобы
параметры 
и
находились
в треугольной области
(3.2.18)
показанной на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Типичные автокорреляционные и
частные автокорреляционные функции 
и 
для различных стационарных моделей
АР(2).
Автокорреляционная функция. Из (3.2.4)
получаем разностное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет
автокорреляционная функция рассматриваемого процесса:
. (3.2.19)
Начальные значения 
и 
. Из (3.2.5) следует, что
общее решение разностного уравнения (3.2.19) имеет вид
, (3.2.20)
причем 
и 
- корни характеристического
уравнения (3.2.17). Когда корни действительны, автокорреляционная функция
состоит из совокупности затухающих экспонент. Это происходит, когда 
, и соответствует
областям 1 и 2, лежащим выше параболической границы на рис. 3.2 (заимствованном
из работы [33]). Конкретнее в области 1 автокорреляционная функция затухает,
оставаясь положительной, что соответствует положительному доминирующему корню в
(3.2.20). В области 2 затухающая функция автокорреляции знакопеременна, что
соответствует отрицательному доминирующему корню.
Если 
и 
комплексные
, процесс
авторегрессии второго порядка ведет себя как псевдопериодическиский. Это
поведение отражается на функции автокорреляции, так как заменой 
и 
в (3.2.20) получаем
, (3.2.21)
где 
, если 
, и 
, если 
. В любом случае мы называем (3.2.21) затухающей
синусоидой с параметром затухания 
, частотой 
и фазой 
. Они связаны с
параметрами процесса следующим образом:
(3.2.22)
и имеет тот же знак, что и
(3.2.23)
(3.2.24)
Как показано на рис. 3.2,
автокорреляционная функция в областях 3 и 4 – затухающая синусоида, причем
фазовый угол меньше
90 в области 4 и лежит между 90 и 180 градусами в области 3. Это означает, что
в области 4 автокорреляционная функция вначале (для нескольких первых задержек)
положительна, а в области 3 всегда меняет знак при переходе от задержки 0 к
задержке 1.
Уравнения Юла - Уокера. Подставляя 
в (3.2.6), получим
уравнения Юла - Уокера в виде
(3.2.25)
Решив (3.2.25) относительно и , получим
(3.2.26)
Диаграмма В в сборнике таблиц и диаграмм
в конце книги позволяет найти значения и для любых данных значений, 
и 
. Эта диаграмма
используется в главах 6 и 7 для получения оценок 
по значениям выборочных автокорреляций
и
.
Уравнения
(3.2.25) могут быть решены также относительно и , что дает
(3.2.27)
Отсюда получаем начальные значения 
в (3.2.19),
указанные выше. Выражения для представления автокорреляционной функции в форме
(3.2.20) или (3.2.21) удобны для объяснения свойств различных типов практически
встречающихся процессов. Однако для вычисления автокорреляций процесса АР(2)
при данных значениях и удобнее пользоваться непосредственно
разностным уравнением (3.2.19).
Рис. 3.3. Допустимые области значений
для стационарного процесса АР(2).
Используя
условия стационарности (3.2.18) и выражения (3.2.27) для и можно показать, что
допустимые значения и для стационарного процесса АР(2) должны
лежать в области
На рис. 3.3, а показана область
допустимых значений параметров и , а на рис. 3.3, б - соответствующая
область допустимых значений и .
Рис. 3.4. Временной ряд, генерируемый
процессом авторегрессии второго порядка.
Дисперсия. Из (3.2.8)
следует, что дисперсия процесса равна
. (3.2.28)
Спектр. Согласно
(3.2.9), спектр выражается как
(3.2.29)
Спектр также отражает псевдопериодическое
поведение ряда в случае, когда корни характеристического уравнения комплексны.
Для иллюстрации на рис. 3.4 показаны 70 членов ряда генерируемого моделью
авторегрессии второго порядка
,
Рис. 3.5. Теоретическая автокорреляционная
функция процесса авторегрессии второго порядка .
полученной подстановкой в (3.2.16) 
и 
. На рис. 3.5
показана соответствующая теоретическая автокорреляционная функция, вычисленная
по формуле (3.2.19) с начальными значениями и 
. Корни характеристического уравнения
комплексны, так что наблюдаемую
псевдопериодичность реализации ряда можно было предугадать. Это поведение чётко
проявляется в теоретической автокорреляционной функции на рис. 3.5; средний
кажущийся период близок к 6.
Рис. 3.6. Теоретическая спектральная
плотность процесса авторегрессии второго порядка .
Параметр затухания и частота согласно(3.2.22) и
(3.2.23) равны
.
Таким образом, основной период функции
автокорреляции равен 6.2.
Наконец,
теоретический нормированный спектр, рассчитанный по формуле (3.2.29) и
приведенный на рис. 3.6, показывает, что дисперсия ряда обусловлена в основном
частотами, близкими к .
