7.3. Результаты оценивания для некоторых частных моделей

В приложениях П7.4 и П7.5 дан вывод некоторых результатов оценивания для ряда частных случаев. Ниже эти результаты, а также полученные ранее в этой главе собраны вместе для удобства просмотра.

7.3.1. Процессы авторегрессий

Оценки параметров чистого процесса авторегрессии можно получить, решив некоторые линейные уравнения. В приложении П7.5 показано,

1) как можно получать точные оценки наименьших квадратов, решая систему линейных уравнений (см. также разд. 7.4.3);

2) как, слегка изменив коэффициенты этих уравнений, можно получить хорошее приближение к точным уравнениям максимального правдоподобия;

3) как, используя выборочные автокорреляции в качестве коэффициентов линейных уравнений Юла-Уокера, можно найти приближенные оценки наименьших квадратов и максимального правдоподобия.

Оценки, полученные в (1), конечно, идентичны тем, что находятся прямой минимизаций , описанной в общем виде в разд. 7.2. Оценки (3) — это хорошо известные приближения Юла и Уокера. Они полезны как начальные оценки на этапе идентификации, но в некоторых ситуациях могут заметно отличаться от оценок (1) и (2). Чтобы проиллюстрировать это, мы сравним оценки (3), полученные из уравнений Юла-Уокера, с оценками (1) наименьших квадратов, которые были сведены в табл. 7.13.

Оценки Юла-Уокера. Оценки Юла-Уокера (6 3.6) имеют вид

,

где

,             .                                (7.3.1)

В частности, оценки для процессов авторегрессии первого и второго порядков равны

                                           (7.3.2)

В приложении П7.5 показано, что приближенное значение  дает формула

,                                                                                   (7.3.3)

и отсюда

,                                                               (7.3.4)

где  - дисперсия . Выражение того же вида связывает  и теоретическую дисперсию  [см. (3.2.8)] , а именно

,

где элементы  и  — теоретические значения. Отсюда из (7.2.19) вытекает, что ковариационная матрица для оценок  имеет вид

,                                                            (7.3.5)

где  и  - автоковариационная и автокорреляционная матрицы  последовательных значений процесса , определенные (2.1.7).

В частности, для процессов авторегрессии первого и второго порядков находим

,                                                            (7.3.6)

.                                 (7.3.7)

Оценки дисперсий и ковариаций получаем подстановкой в (7.3.5) оценок параметров. Отсюда

.                                                                    (7.3.8)

Примеры. Автокорреляции для задержек 1 и 2 для рядов  и , идентифицированных как возможные процессы авторегрессии (в случае ряда  это относится к первым разностям), показаны ниже.

Пользуясь (7.3 2), получаем оценки Юла-Уокера, приведенные в табл. 7.14, вместе со стандартными ошибками, вычисленными по (7.3.6) и (7.3.7).

Таблица 7.14. Оценки Юла-Уокера для рядов

Из (7.3.7) получаем выражение для коэффициента корреляции между оценками двух параметров процесса авторегрессии второго порядка:

.

Заметим, что для ряда  существует большая отрицательная корреляция между оценками. Это означает, что доверительная область для  и  будет вытягиваться вдоль диагонали, идущей из верхнего левого угла на плоскости . Отсюда следует, что эти оценки нестабильны; в этом заключается причина относительно больших расхождений между оценками наименьших квадратов из табл. 7.13 и оценками Юла-Уокера из табл. 7.14 для этого конкретного ряда.