7.2. Сегментация изображений на основе марковской фильтрации

Применение статистических методов фильтрации для сегментации изображений позволяет избавиться от основного недостатка простой пороговой обработки — ее одноточечного характера. Устоявшегося, безусловно предпочтительного метода сегментации на основе фильтрации в настоящее время не существует. Поэтому в данном и в следующем разделах будут рассмотрены два подхода, представляющихся наиболее перспективными для решения обсуждаемой задачи. Следует отметить, что теоретическая основа этих подходов значительно глубже, чем теория пороговой обработки. В пределах настоящего пособия будет дано лишь качественное изложение теории. При желании необходимые детали и доказательства могут быть найдены в публикациях.

Рассмотрим марковскую сегментацию, основанную на использовании неполных данных, которая по своей теоретической сути очень близка к марковской фильтрации изображений, рассмотренной в разделе 3.5 настоящего пособия. Статистическая сегментация, как и фильтрация, предполагает принятие решения вкаждом точке кадра на основеанализа исходного изображенияв некоторой окрестности этойточки. В зависимости от характера этой окрестности сегментация может быть каузальной, полукаузальной и некаузальной. Здесьрассмотрим разновидность некаузальной сегментации, использующей лишь данные строки и столбца, на пересечении которых располагается текущая точка кадра, что иллюстрируется(рис. 7.3).

Рис.7.3.Геометрия используемых данных при сегментации

Напомним, что некаузальность в этом случае предполагает использование наблюдаемые данных всех четырех лучей , образующих в совокупности крестообразную структуру . Напомним также, что ограничение используемых данных лишь множеством, соответствующим рассматриваемой структуре, приводит к небольшой, как показывают детальные исследования, потере эффективности обработки. При обработке должны быть вычислены апостериорные вероятности всех классов, а затем принято решение об отнесении текущей точки кадра к тому классу, которому соответствует наибольшая вероятность.

Статистические методы всегда опираются на использование тех или иных математических моделей изображения. Ограничимся для простоты и здесь задачей бинарной сегментации. Рассмотрим случай, когда классы однородности отличаются друг от друга видом своих корреляционных функций, имея одинаковые средние яркости и дисперсии флюктуаций. На изображении (см., например, приводимый на рис. 7.4, а) участки разных классов различаются характером рисунка, размером деталей, величиной квазипериода. Такого рода различия относят к числу текстурных. Заметим, что понятие текстуры, достаточно широко применяемое в цифровой обработке изображений, до сих пор не имеет общепринятого определения, Многие определения ориентированы на присутствие повторяемости — строгой или приблизительной — элементов картины. Авторы [7.5] под текстурой понимают ''описание пространственной упорядоченности элементов изображения в пределах некоторого участка изображения".

Очевидна непригодность пороговой обработки для сегментации в рассматриваемом случае текстурных различий классов.

Будем считать, что в пределах отдельного участка однородности изображение описывается случайным молем с гауссовским распределением и биэкспоненциальной корреляционной функцией:

                             (7.13)

где - дисперсия,  - коэффициент корреляции соседних по строке или по столбцу элементов поля. Классы однородности в рассматриваемом случае корреляционных различий можно описать при помощи двух таких случайных полей  и с разными значениями коэффициента одно шаговой корреляции  и . Среднее значение поля для обоих классов однородности здесь принято равным нулю, что не является определяющим. Наблюдаемое поле  представим в виде

                          (7.14)

где индекс  в различных точках кадра случайным образом принимает значения 0 или 1. Тем самым в модели вкаждой точке кадра выбор того или иного класса осуществляется при помощи управляющего случайного бинарного поля , а задача сегментации формулируется как получение оценки  этого поля по наблюдаемому изображению (7.14).

Для того чтобы можно было применять описываемую ниже марковскую сегментацию, информационное поле  должно подчиняться определенному описанию. Доказано, что необходимым и достаточным условием применимости марковского аппарата является также биэкспоненциальный характер двумерной корреляционной функции. Одномерные сечения такого поля, получаемые в строках или в столбцах, представляют собой марковские последовательности. Одной из важнейших характеристик таких последовательностей является матрица одношаговых вероятностей перехода

Ее элемент  - вероятность того, что на -м шаге процесс примет значение  при условии, что на предыдущем -м шаге его значение равнялось . Матрица переходных вероятностей, называется стохастической, предусматривает все четыре возможные комбинации прошлого и текущего значений.

Обозначим ,  — векторы, образуемые значениями полей  и  соответственно в точках луча  за исключением текущей точки , а  и  - аналогичные векторы, включающие все значения этих полей в точках "креста" . При принятых моделях полей совокупность векторов  обладает марковским свойством условной независимости:

    (7.15)

позволяющим компактно выразить совместное распределение вероятностей  через более простые условные распределения  на отдельных лучах. Важным достоинством представления (7.15) является вытекающая из него возможность определять апостериорное распределение вероятностей (АРВ)  в виде

                                          (7.16)

где  - нормировочная постоянная. По формуле (7.16) в каждой точке кадра должны быть вычислены две вероятности  и , а затем вынесено решение  или  в зависимости от того, какая из этих вероятностей больше.

Удобство (7.16) состоит в том, что вычисление АРВ  распадается на четыре однотипные независимые друг от друга вычислительные процедуры, выполняемые на каждом из лучей . Практически это означает, что для обработки всего кадра требуется проводить обработку каждой строки для получения каузальной  и антикаузальной  вероятностей. Технически же это реализуется двукратным сканированием строк - в прямом и в обратном направлениях. Аналогично двукратным сканированием столбцов вычисляют вероятности  и . Кроме того, в каждой точке кадра вычисляют одноточечное АРВ , входящее в (7.16).

Марковский характер случайных полей, описывающих изображение, приводит к еще одному важному достоинству вычислительных процедур, реализующих (7.16) — рекуррентности алгоритмов вычисления частных АРВ . Это означает, что при движении вдоль -го луча  крестообразного множества  АРВ в произвольной -й точке этого луча определяется значением этой АРВ в предыдущей -й точке. В целом, благодаря указанным качествам, алгоритм сегментации оказывается очень технологичным.

В качестве примера приведем без вывода рекуррентные уравнения для каузальной АРВ, т.е. описывающие процесс получения распределений на лучах  и :

   (7.17)

В выражении (7.17)  - нормирующий коэффициент;  - элементы изображения развернутой части строки  или столбца , a  - распределение текущего элемента наблюдаемого изображения при его фиксированном значении на предыдущем шаге, а также при фиксированных значениях информационного сигнала на текущем и предыдущем шагах. Это условное распределение для принятой здесь математической модели определяется характеристиками поля  и описывается выражением:

в котором параметр  равен  или , для , равного 0 или 1 соответственно. Как и (7.16), выражение (7.17) просчитывается для двух значений , равных 0 и 1, что в совокупности и составляет распределение вероятностей в случае бинарного информационного процесса.

Одноточечное АРВ , участвующее в вычислении полного АРВ (7.16), находим по формуле Байеса:

в которой  - нормировочный коэффициент для данного распределения,  - априорное распределение вероятностей классов однородности. Одношаговая функция правдоподобия , имеющая вид

не зависит в данном случае от этого информационного поля, что обусловлено специфическим характеромвоздействия информационного поля на наблюдаемый сигнал. Следовательно, знаменатель в (7.16) совпадает с априорным распределением классов однородности изображения, а это исключает необходимость его вычислений в процессе сегментации.

Отметим, что вычисления на лучах  и  незначительно отличаются от вычислений, описанных для лучей  и . Как было сказано, развертка на этих лучах выполняется в обратном направлении. Креметого, необходимо учитывать, что переходные распределения вероятностей для обоих марковских полей  и , участвующих в математической модели, в обратном "времени" отличаются от соответствующих распределений прямого "времени" [7.2].

Читателя, желающего познакомиться с деталями выводов и доказательств, опущенных в данном изложении марковской сегментации, отсылаем к первоисточнику [7.2].

Приведем иллюстрации, демонстрирующие применение описанного метода. На рис. 7.4,а показано исходное текстурное изображение, на котором присутствуют области двух классов. Энергетические характеристики классов – средние яркости и дисперсии - одинаковы, коэффициент одношаговой корреляции =0, =0,95. Сюжет "полуостров", как видно из рис. 7.4, б, эффективно выделяется при помощи марковской процедуры сегментации.

Подчеркнем еще раз, что пороговая обработка в условиях текстурной сегментации абсолютно лишена смысла.

а

б

Рис.7.4.Марковская сегментация текстурного изображения