§ 3. Преобразование скоростей

Главное отличие принципа относительности Эйнштейна от принципа относительности Ньютона заключается в том, что законы преобразований, связывающих координаты и времена в системах, движущихся относительно друг друга, различны. Правильный закон преобразований (Лоренца) таков:

                    (16.1)

Эти уравнения отвечают сравнительно простому случаю, когда наблюдатели движутся относительно друг друга вдоль общей оси . Конечно, мыслимы и другие направления движения, но самое общее преобразование Лоренца выглядит довольно сложно: в нем перемешаны все четыре числа. Мы и впредь будем пользоваться этой простой формулой, так как она содержит в себе все существенные черты теории относительности.

Рассмотрим теперь дальнейшие следствия этого преобразования. Прежде всего интересно разрешить эти уравнения относительно . Это система четырех линейных уравнений для четырех неизвестных, и их можно решить - выразить  через . Результат этот потому интересен, что он говорит нам, как «покоящаяся» система координат выглядит с точки зрения «движущейся». Ясно, что из-за относительности движения и постоянства скорости тот, кто «движется», может, если пожелает, счесть себя неподвижным, другого - движущимся. А поскольку он движется в обратную сторону, то получит то же преобразование, но с противоположным знаком у скорости. Это в точности то, что дает и прямое решение системы, так что все сходится. Вот если бы не сошлось, было бы от чего встревожиться!

                    (16.2)

Теперь займемся интересным вопросом о сложении скоростей в теории относительности. Напомним, что первоначально загадка состояла в том, что свет проходит 300000 км/сек во всех системах, даже если они движутся друг относительно друга. Это - частный случай более общей задачи. Приведем пример. Пусть предмет внутри космического корабля движется вперед со скоростью 200000 км/сек; скорость самого корабля тоже 200000 км/сек. С какой скоростью перемещается предмет с точки зрения внешнего наблюдателя? Хочется сказать: 400000 км/сек, но эта цифра уж больно подозрительна: получается скорость большая, чем скорость света! Разве можно себе это представить?

Общая постановка задачи такова. Пусть скорость тела внутри корабля равна  (с точки зрения наблюдателя на корабле), а сам корабль имеет скорость  по отношению к Земле. Мы желаем знать, с какой скоростью  это тело движется с точки зрения земного наблюдателя. Впрочем, это тоже не самый общий случай, потому что движение происходит в направлении . Могут быть формулы для преобразования скоростей в направлении  или в любом другом; если они будут нужны, их всегда можно вывести. Внутри корабля скорость тела равна . Это значит, что перемещение  равно скорости, умноженной на время:

.                     (16.3)

Остается только подсчитать, какие у тела значения  и  с точки зрения внешнего наблюдателя, если  и  связаны соотношением (16.3). Подставим (16.3) в (16.2) и получим

.                     (16.4)

Но здесь  выражено через . А скорость с точки зрения внешнего наблюдателя - это «его» расстояние, деленное на «его» время, а не на время другого наблюдателя! Значит, надо и время подсчитать с его позиций

.                (16.5)

А теперь разделим  на . Квадратные корни сократятся, останется же

.             (16.6)

Это и есть искомый закон: суммарная скорость не равна сумме скоростей (это привело бы ко всяким несообразностям), но «подправлена» знаменателем .

Что же теперь будет получаться? Пусть ваша скорость внутри корабля равна половине скорости света, а скорость корабля тоже равна половине скорости света. Значит, и  равно , и  равно , но в знаменателе  равно , так что

.

Выходит по теории относительности, что  и  дают не 1, а . Небольшие скорости, конечно, можно складывать, как обычно, потому что, пока скорости по сравнению со скоростью света малы, о знаменателе  можно забыть, но на больших скоростях положение меняется.

Возьмем предельный случай. Положим, что человек на борту корабля наблюдает, как распространяется свет. Тогда . Что обнаружит земной наблюдатель? Ответ будет такой:

.

Значит, если что-то движется со скоростью света внутри корабля, то, с точки зрения стороннего наблюдателя, скорость не изменится, она по-прежнему будет равна скорости света! Это именно то, ради чего в первую очередь предназначал Эйнштейн свою теорию относительности.

Конечно, бывает, что движение тела не совпадает по направлению с равномерным движением корабля. Например, тело движется «вверх» со скоростью  по отношению к кораблю, а корабль движется «горизонтально». Проделывая такие же манипуляции (только  надо заменить на ), получаем

,

так что при

.             (16.7)

Итак, боковая скорость тела уже не , a . Этот результат мы получили, пользуясь формулами преобразований. Но он вытекает и прямо из принципа относительности по следующей причине (всегда бывает полезно докопаться до первоначальной причины). Мы уже раньше рассуждали (см. фиг. 15.3) о том, как могут работать движущиеся часы; свет кажется распространяющимся наискось со скоростью  в неподвижной системе, в то время как в движущейся системе он просто движется вертикально с той же скоростью. Мы нашли, что вертикальная компонента скорости в неподвижной системе меньше скорости света на множитель  [см. уравнение (15.3)]. Пусть теперь материальная частица движется в тех же «часах» взад-вперед со скоростью, равной  скорости света (фиг. 16.1). Пока частица пройдет туда и обратно, свет пройдет этот путь ровно  раз ( - целое число). Значит, каждое тиканье «часов с частицей» совпадет с -м тиканьем «световых часов». Этот факт должен остаться верным и тогда, когда тело движется, потому что физическое явление совпадения остается совпадением в любой системе. Ну а поскольку скорость  меньше скорости света, то скорость  частицы должна быть меньше соответствующей скорости в том же отношении (с квадратным корнем)! Вот почему в любой вертикальной скорости появляется корень.

Фиг. 16.1. Траектории светового луча и частицы внутри движущихся часов.