Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 25. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЗОР§ 1. Линейные дифференциальные уравнения
В этой главе мы снова вернемся к некоторым аспектам наших колебательных систем, только постараемся теперь увидеть нечто более общее, стоящее за спиной каждой частной системы. Изучение каждой колебательной системы сводилось к решению дифференциального уравнения
Эта
комбинация «операций» над переменной
(Подчеркнем
букву Наше первое утверждение, что
следует
из соотношений Легко
доказать, что для постоянного
[Соотношения
(25.3) и (25.4) тесно связаны одно с другим, потому что, подставив в (25.3) Решая
более сложные задачи, можно получить Давайте изучим некоторые свойства линейных дифференциальных уравнений, причем полезно помнить о хорошо знакомом нам частном уравнении (25.1). Первое интересное свойство: предположим, что мы решаем дифференциальное уравнение для переходных движений: свободных колебаний без действия внешних сил. Нам предстоит решить уравнение
Предположим,
что мы как-то исхитрились одолеть это уравнение и нашли его частное решение Предположим
теперь, что нам удалось все-таки найти не одно частное решение Продолжая
в том же духе, мы можем сложить шесть первых и два вторых решения; ведь если Посмотрим, что будет, когда на систему действует внешняя сила. Предположим, что нам встретилось уравнение
и
мы нашли его частное решение. Назовем его решением Джо
Следовательно, добавив к решению уравнения (25.6) любое «свободное» решение, мы получим новое решение. Свободное решение называют еще переходным решением. Если неожиданно включить внешнюю силу, то движение осциллятора не сразу будет описываться равновесным (синусоидальным) решением: сначала к нему будут примешиваться переходные решения, которые, если подождать подольше, в конце концов «вымрут». Равновесное решение «выживет», потому что только оно соответствует внешней силе. В конце концов это будет единственным решением, но начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включению силы.
|
1 |
Оглавление
|