Глава 20. ВРАЩЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве
В
этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий
законов механики - поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего
нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества
движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Однако мы не будем
использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это
займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны
перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их
приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных случаев.
Прежде
всего хочу отметить, что для вращения в трех измерениях твердого тела или
какого-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух
измерений. Иначе говоря,
так и остается моментом силы «в
плоскости
»,
или моментом силы «относительно оси
». Остается справедливым также, что
этот момент силы равен скорости изменения величины
; если вы вспомните вывод
уравнения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не
использовали того обстоятельства, что движение плоское, и просто
дифференцировали величину
и получали
, так что эта теорема
остается верной. Величину
мы называли моментом количества
движения в плоскости
, или моментом количества движения
относительно оси
. Кроме плоскости
, можно использовать другие
пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость
.Уже из симметрии
ясно, что если мы просто подставим
вместо
, a
вместо
, то для момента силы получим
выражение
и
будет
угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость
и получить для
нее
.
Совершенно
ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех
плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как
, для многих
частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта
подобных выражений для трех плоскостей:
и
, а сделав то же самое с моментами
сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плоскостях. Таким
образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости
равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто
обобщение того, что писалось для двух измерений.
Однако
теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в
конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней
моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений,
так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень
интересное обстоятельство. Оказывается, что если мы в комбинации
для «косой»
плоскости выразим величины
и т. д. через их компоненты, то
результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях
и
. В этом нет
ничего нового. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях
и
, то момент сил в
любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их
комбинации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и
займемся.
Пусть
Джо для своих координатных осей
определял все моменты сил и все
угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси
по-другому. Чтобы
немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси
и
. Мик выбрал
другие оси
и
, а его
ось
осталась
той же самой. Это означает, что плоскости
и
у него новые, а поэтому моменты сил
и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в
плоскости
окажется
равным
и
т. д. Следующая задача - найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее
вполне можно решить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же
напоминает то, что мы делали с векторами»,- скажете вы. Действительно, я
собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» -
спросите вы. Действительно, он - вектор, однако этого нельзя сказать просто
так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть
анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как
это все работает. Моменты сил, вычисленные Джо, равны
(20.1)
В
этом месте мы сделаем отступление и заметим, что в подобных случаях, если оси
координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак.
Почему бы не написать
? Этот вопрос связан с тем
обстоятельством, что система координат может быть либо «левая», либо «правая».
Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у
, можно всегда определить правильное
выражение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем:
или
Теперь
Мик подсчитывает моменты сил в своей системе
(20.2)
Пусть
одна система координат повернута на угол
по отношению к другой, так что ось
осталась той же
самой. (Угол
ничего
не имеет общего с вращением объекта или с чем-то происходящим внутри системы
координат. Это просто связь между осями, используемыми одним человеком, и
осями, используемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоянным.) При
этом координаты в двух системах связаны так:
(20.3)
Точно
таким же образом, поскольку сила является вектором, она преобразуется в новой
системе координат так же, как
и
. Просто, по определению, объект
называется вектором тогда и только тогда, когда различные его компоненты
преобразуются как
и
(20.4)
Теперь
можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2)
нужно просто подставить вместо
и
выражение (20.3), а для
и
- выражение
(20.4). В результате для
получается длинный ряд членов, но
оказывается (и на первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к
выражению
,
которое, как известно, является моментом силы в плоскости
:
(20.5)
Результат
совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости
, при этом момент
относительно оси
в этой плоскости не отличается от
прежнего: ведь плоскость-то осталась той же самой! Более интересно выражение
для
.
Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью. Если теперь повторить то же самое с
плоскостью
,
то получим
(20.6)
И
наконец, для плоскости
(20.7)
Мы
хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент
сил в старой и нашли его. Как можно запомнить это правило? Если внимательно
посмотреть на уравнения (20.5)-(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и
уравнениями для
и
существует
тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать
-компонентой чего-то,
скажем
-компонентой
вектора
,
то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование
вектора
,
ибо
-компонента
его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать
плоскость
с
-компонентой
новоиспеченного вектора, а плоскость
с
-компонентой, то закон преобразования
будет выглядеть так:
(20.8)
что
в точности соответствует закону преобразования векторов.
Мы,
следовательно, доказали, что комбинацию
можно отождествить с тем, что обычно
называется
-компонентой
некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего
рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера,
математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под
прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе кручения.
Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый
настоящий вектор.
Итак,
мы представляем момент силы в виде вектора. Согласно правилу, с каждой
плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к
этой плоскости. Однако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределенный
знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило,
которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в
плоскости
,
то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси
. Это означает, что
предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево».
Предположим, что система координат
правосторонняя; тогда правило должно
быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с
правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кручением,
определяется поступательным движением болта.
Почему
же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой
плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно
связать только один вектор. Это свойство - особенность трехмерного
пространства. В двумерном пространстве, например, момент - самый обычный
скаляр, не нуждающийся в направлении. В трехмерном пространстве он - вектор.
Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо
(если, например, в качестве четвертого измерения взять время) дополнительно к
трем плоскостям
и
появятся
также плоскости
и
. Всего,
следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде
одного четырехмерного вектора невозможно.
Однако
нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит
отметить, что в предыдущих математических рассмотрениях совершенно не
существенно то, что
- координата, a
- сила, а существен только
закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо
координаты
подставим
-компоненту
любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину
, где
и
- векторы, и
назвать ее
-компонентой
некоторой новой величины
, то эта величина будет вектором
. Было бы хорошо
для такой связи трех компонент нового вектора
с векторами
и
придумать какое-то
математическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначением:
. Таким образом, в
дополнение к обычному скалярному произведению в векторном анализе мы получили
произведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись
это то же самое,
что
(20.9)
Если
переменить порядок векторов
и
, т. е. вместо
взять
, то знак вектора
при этом
изменится, ибо
равно
.
Векторное произведение поэтому не похоже на обычное умножение, для которого
. Для векторного
произведения
.
Отсюда немедленно следует, что если
, то векторное произведение равно
нулю, т. е.
.
Векторное
произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать
геометрическую связь векторов
и
. Связь между компонентами
определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить следующие
геометрические соотношения. Во-первых, вектор
перпендикулярен как к вектору
, так и к вектору
. (Попробуйте
вычислить
и
вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора
оказывается
равной произведению абсолютных величин векторов
и
, умноженному на синус угла между
ними. А куда направлен вектор
? Вообразите, что мы доворачиваем
вектор
до
вектора
в
направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с
правовинтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении вектора
. То, что мы берем
правовинтовой болт, а не левовинтовой,- простая договоренность, которая
постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов
и
вектор нового
типа
по
своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по
особому рецепту. У обычных векторов
и
, кроме того, есть специальное
название: мы называем их полярными векторами. Примерами таких векторов служат
координата
,
сила
,
импульс
,
скорость
,
электрическое поле
и т. д. Все это обычные полярные
векторы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов,
называются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами
псевдовекторов, несомненно, могут служить момент силы
и момент импульса
. Кроме того,
оказывается, что угловая скорость
, как и магнитное поле
, тоже
псевдовектор.
Чтобы
расширить наши сведения о математических свойствах векторов, нужно знать все
правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам
нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпишем все правила
с участием векторного произведения. Впоследствии мы будем ими пользоваться. Эти
правила таковы:
(20.10)