§ 9. Связь массы и энергии

Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на . Если (15.11) помножить на , получается

.                 (15.12)

Здесь левая часть дает полную энергию тела, а в последнем члене справа мы узнаем обычную кинетическую энергию. Эйнштейн осмыслил первый член справа (очень большое постоянное число ) как часть полной энергии тела, а именно как его внутреннюю энергию, или «энергию покоя».

К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнштейном предположим, что энергия тела всегда равна ? Тогда мы сможем вывести формулу (15.1) зависимости массы от скорости, ту самую, которую до сих пор мы принимали на веру. Пусть тело сперва покоится, обладая энергией . Затем мы прикладываем к телу силу, которая сдвигает его с места и поставляет ему кинетическую энергию; раз энергия примется возрастать, то начнет расти и масса (это все заложено в первоначальном предположении). Пока сила действует, энергия и масса продолжают расти. Мы уже видели (см. гл. 13), что быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость

.                 (15.13)

Кроме того,  [см. гл. 9, уравнение (9.1)]. Связав все это с определением  и подставив в (15.13), получим

.                        (15.14)

Мы хотим решить это уравнение относительно . Для этого помножим обе части на . Уравнение обратится в

.               (15.15)

Теперь нам нужно избавиться от производных, т. е. проинтегрировать обе части равенства. В величине  можно узнать производную по времени от , а в  - производную по времени от . Значит, (15.15) совпадает с

.                      (15.16)

Когда производные двух величин равны, то сами величины могут отличаться не больше чем на константу . Это позволяет написать

.                  (15.17)

Определим теперь константу  явно. Так как уравнение (15.17) должно выполняться при любых скоростях, то можно взять  и обозначить в этом случае массу через . Подстановка этих чисел в (15.17) дает

.

Это значение  теперь можно подставить в уравнение (15.17). Оно принимает вид

.             (15.18)

Разделим на  и перенесем члены с  в левую часть

,

откуда

.                    (15.19)

А это и есть формула (15.1), т. е. как раз то, что необходимо, чтобы в уравнении (15.12) было соответствие между массой и энергией.

В обычных условиях изменения в энергии приводят к очень малым изменениям в массе: почти никогда не удается из данного количества вещества извлечь много энергии; но в атомной бомбе с энергией взрыва, эквивалентной 20000 тонн тринитротолуола, весь пепел, осевший после взрыва, на 1 г легче первоначального количества расщепляющегося материала. Это потому, что выделилась энергия, которая имела массу 1 г, в согласии с формулой . Вывод об эквивалентности массы и энергии прекрасно подтвердился в опытах по аннигиляции материи - превращению вещества в энергию. Электрон с позитроном могут взаимодействовать в покое, имея каждый массу покоя . При сближении они исчезают, а вместо них излучаются два -луча, каждый опять с энергией . Этот опыт прямо сообщает нам о величине энергии, связанной с существованием массы покоя у частицы.