§ 4. Еще о четырехвекторах
Вернемся
опять к аналогии между преобразованием Лоренца и вращением пространственных
осей. Мы уже убедились, что полезно собирать воедино отличные от координат
величины, которые преобразуются так же, как и координаты; эти соединенные
величины называют векторами, или направленными отрезками. При обычных вращениях
немало величин преобразуется в точности так же, как
(например, скорость с
тремя компонентами
); при переходе из одной системы
координат в другую ни одна из компонент не остается прежней, все они
приобретают новые значения. Но «сама» скорость, во всяком случае, более
реальна, чем любая из ее компонент, и изображаем мы ее направленным отрезком.
Теперь
мы спросим: существуют ли величины, которые преобразуются при переходе от
неподвижной системы к движущейся так же, как и
? Наш опыт обращения с векторами
подсказывает, что три из этих величин, подобно
, могли бы представлять собой три
компоненты обычного пространственного вектора, а четвертая могла бы оказаться
похожей на обычный скаляр относительно пространственных вращений: она бы не
изменялась, пока мы не перейдем в движущуюся систему координат. Возможно ли,
однако, связать с одним из известных «тривекторов» некоторый четвертый объект
(который можно назвать «временной компонентой») таким образом, чтобы вся
четверка «вращалась» точно так же, как изменяются пространство и время в
пространстве-времени? Мы сейчас покажем, что действительно существует по
крайней мере одна такая четверка (на самом деле далеко не одна): три компоненты
импульса и энергия в качестве временной компоненты преобразуются вместе и
образуют так называемый «четырехвектор». Доказывая это, мы избавимся от
тем же приемом,
какой употреблялся в уравнении (17.4). Например, энергия и масса отличаются
только множителем
и при надлежащем выборе единиц
измерения энергия совпадет с массой. Вместо того чтобы писать
, мы положим
. Если
понадобится, в окончательных уравнениях можно опять расставить
в нужных
степенях.
Итак,
уравнения для энергии и импульса имеют вид
(17.6)
Значит,
при таком выборе единиц получится
. (17.7)
Скажем,
если энергия выражена в электронвольтах (эв), то чему равна масса в 1 эв? Она
равна массе с энергией покоя 1 эв, т. е.
эв. У электрона, например, масса
покоя равна
эв.
Как
же будут выглядеть импульс и энергия в новой системе координат? Чтобы узнать
это, надо преобразовать уравнения (17.6). Это преобразование легко получить,
зная, как преобразуется скорость. Пусть некоторое тело имело скорость
, а мы наблюдаем
за ним из космического корабля, который сам имеет скорость
, и обозначаем
соответствующие величины штрихами. Для простоты сперва мы рассмотрим случай,
когда скорость
направлена
по скорости
.
(Более общий случай мы рассмотрим позже.) Чему равна скорость тела
по измерениям из
космического корабля? Эта скорость равна «разности» между
и
. По прежде полученному
нами закону
. (17.8)
Теперь
подсчитаем, какой окажется энергия
по измерениям космонавта. Он,
конечно, воспользуется той же массой покоя, но зато скорость станет
. Он возведет
в квадрат, вычтет
из единицы, извлечет квадратный корень и найдет обратную величину
Поэтому
. (17.9)
Энергия
просто
равна массе
,
умноженной на это выражение. Но нам хочется выразить энергию через нештрихованные
энергию и импульс. Мы замечаем, что
,
или
. (17.10)
Мы
узнаем в этом выражении знакомое нам преобразование
.
Теперь
мы должны найти новый импульс
. Он равен энергии
, умноженной на
, и так же просто
выражается через
и
:
.
Итак,
, (17.11)
и
мы опять распознаем в этой формуле знакомое нам
.
Итак,
преобразование старых энергии и импульса в новые энергию и импульс в точности
совпало с преобразованием
и
в
и
и
в
: если мы в уравнениях (17.4) будем
писать
каждый
раз, когда увидим
, а вместо
всякий раз будем
подставлять
,
то уравнения (17.4) превратятся в уравнения (17.10) и (17.11). Если все верно,
то это правило предполагает добавочные равенства
и
. Чтобы их доказать, надо посмотреть,
как преобразуется движение вверх или вниз. Но как раз в предыдущей главе мы
рассмотрели такое движение. Мы анализировали сложное столкновение и заметили,
что поперечный импульс действительно не меняется при переходе в движущуюся
систему координат. Стало быть, мы уже убедились, что
и
. Итак, полное
преобразование равно
(17.12)
Таким
образом, эти преобразования выявили четыре величины, которые преобразуются
подобно
.
Назовем их четырехвектор импульса. Так как импульс - это четырехвектор, его
можно изобразить на диаграмме пространства-времени движущейся частицы в виде
«стрелки», касательной к пути (фиг. 17.4). У этой стрелки временная компонента
дает энергию, а пространственные - тривектор импульса; сама стрелка «реальнее»,
чем один только импульс или одна лишь энергия: ведь и импульс, и энергия
зависят от нашей точки зрения.
Фиг. 17.4. Четырехвектор импульса
частицы.