§ 8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе.

Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Числочленов суммы равно числу корней характеристического уравнения.

При двух действительных неравных корнях

при трех действительных неравных корнях

Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти: 1) числовое значение искомого свободного тока при , обозначим его ; 2) числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при . Числовое значение первой производной от свободного тока при обозначим ; второй — и т. д.

Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования , полагая известными и значения корней

Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то Постоянную интегрирования А определяют по значению свободного тока

Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то

Продифференцируем это уравнение по времени:

(8.16а)

Запишем уравнения (8.16) и (8.16а) при t = 0 (учтем, что при ). В результате получим

(8.17а)

В этой системе уравнений известными являются ; неизвестными — .

Совместное решение (8.17) и (8.17а) дает

(8.176)

Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в (8.16) сопряжены не только но и . Поэтому свободный ток

Угловая частота и коэффициент затухания 6 известны из решения характеристического уравнения.

Определение двух неизвестных А и v производят и в этом случае по значениям .

Продифференцировав по времени уравнение (8.18), получим

(8.18а)

Запишем уравнение (8.18а) при :

Таким образом, для нахождения неизвестных А и v имеем два уравнения:

Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток

Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (8.20):

Запишем (8.20)—(8.22) при :

Система уравнений (8.23) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: Все остальные входящие в нее величины известны.

Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины и ее производной (производных) при рекомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на С и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.

Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процессов классическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых начальных условиях.

Пример 80. В схеме рис. 8.17 до замыкания ключа был установившийся режим: ; С = 100 мкФ; Е = 150 В.

Рис. 8.17

Требуется найти; 1) полные, принужденные и свободные составляющие токов при а также начальное значение производной от свободного напряжения на конденсаторе; 2) токи и напряжение в функции времени.

Решение первой части задачи. До коммутации

Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе .

Найдем принужденные значения токов и напряжений после коммутации:

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями при

Поэтому

Из уравнения получим

По первому закону Кирхгофа Следовательно, .

Свободные составляющие тока и напряжения при определим как разности между полными и принужденными величинами:

Так как свободный ток через конденсатор

В рассматриваемом примере

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы имеет один корень

Каждый ток равен сумме принужденной и свободной составляющей , где равно значению свободной Составляющей при (рис. 8.18):

Пример 81. В схеме рис. 8.19 до замыкания ключа был установившийся режим ; ;

Требуется определить: 1) ; 2) закон изменения тока в цепи после коммутации.

Решение первой части задачи. Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации

Мгновенное значение тока до коммутации .

В момент коммутации (при )

При нужденный ток после коммутации

Мгновенное значгнж жденного тока

По первому закону коммутации .

Но Следовательно, .

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение имеет корень

Рис. 8.18

Рис. 8.19

Рис. 8.20

По данным первой части задачи ток в цепи до коммутации (кривая на рис. 8.20 до

Мгновенное значение принужденного тока после коммутации (кривая 2 на рис 8.20)

Следовательно,

Кривая 3 на рис. 8.20 определяет характер изменения свободного тока, кривая 4 — полного тока после коммутации (ординаты кривой 4 при равны сумме ординат кривых 2 и 3).

Пример 82. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения при замыкании ключа К разряжается на L и (рис. 8.21, а). Вывести формулы и построить графики изменения во времени , когда корни характеристического уравнения: а) действительные; б) комплексно-сопряженные.

Решение. Корни уравнения равны .

Они действительны при и комплексно-сопряжены при При корни равны. Соответствующее этому случаю R называют критическим. При решении учтем, что .

а) Полагаем — действительные корни. Тогда

Составим два уравнения для определения и :

Отсюда

Рис. 8.21

Следовательно,

Графики для случая а) даны на рис. 8.21, б. Для случая б) корни где Напряжение

Здесь , угол находится во второй четверти. Из начальных условий

Отсюда

Постоянная

Графики

изображены на рис. 8.21, .

Пример 83. В схеме рис. 8.22 ключ замыкается в третьей ветви. До этого был установившийся режим: . Требуется найти:

Решение первой части задачи. До замыкания ключа

Принужденный ток после коммутации . Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому

Рис. 8.22

От постоянного тока на индуктивном элементе нет падения напряжения, следовательно, .

Принужденное напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на R, от тока . По первому закону коммутации . Но , откуда

или

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура образованного первой и третьей ветвями:

Так как , то

Свободная составляющая

Чтобы определить , составим уравнение для свободных составляющю по контуру, образованному первой и второй ветвями:

откуда

Но . Следовательно,

Свободное напряжение на конденсаторе при подсчитаем по втором) закону коммутации:

отсюда .

Определим скорость изменения свободной составляющей напряжения на конденсаторе при . С этой целью воспользуемся тем, что . Следовательно,

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение

Рис. 8.23

имеет два комплексно-сопряженных корня:

Поэтому свободная составляющая должна быть взята в виде

где ; А и v определяются по значению свободной составляющей и ее первой производной при . По данным первой части задачи,

При Производная функция .

Значение этой производной при равно — .

Найдем значения А и v для свободной составляющей тока Для этого составим два уравнения:

Совместное решение их дает . Следовательно,

Кривая на рис. 8.23 выражает собой график . Найдем А и v для свободной составляющей напряжения

Отсюда . Таким образом,

Кривая 2 на рис. 8.23 изображает .

Пример 84. В схеме рис. 8.22 . Параметры схемы те же что и в примере 83. До замыкания ключа в схеме был установившийся режим.

Требуется найти: ;

2) .

Решение первой части задачи. До коммутации

Определим принужденные токи и напряжения на конденсаторе после коммутации.

Входное сопротивление цепи

Тогда

Мгновенное значение принужденного тока после коммутации

Комплексное сопротивление параллельно соединенных второй и третьей ветвей

Комплексное напряжение на параллельном участке

Отсюда

Мгновенные значения принужденных токов и после коммутации:

Принужденное напряжение на конденсаторе

Мгновенное значение принужденого напряжения на конденсаторе после коммутации

По первому закону коммутации,

Свободное напряжение на конденсаторе найдем по второму закону коммутации:

Для определения составим уравнение по контуру, образованному первой и третьей ветвями:

Заменим в нем на и, учтя, что , получим

Чтобы найти составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями:

откуда

Решение второй части задачи. По данным, полученным при решении первой части,

Корни характеристического уравнения те же, что и в предыдущем примере. Определим А и v для , составим два уравнения:

откуда .

Следовательно,

Найдем А и v для , составим два уравнения:

Их совместное решение дает . Таким образом .