§ 8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе.
Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Числочленов суммы равно числу корней характеристического уравнения.
При двух действительных неравных корнях
при трех действительных неравных корнях
Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти: 1) числовое значение искомого свободного тока при
, обозначим его
; 2) числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при
. Числовое значение первой производной от свободного тока при
обозначим
; второй —
и т. д.
Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования
, полагая известными
и значения корней
Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то
Постоянную интегрирования А определяют по значению свободного тока
Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то
Продифференцируем это уравнение по времени:
(8.16а)
Запишем уравнения (8.16) и (8.16а) при t = 0 (учтем, что при
). В результате получим
(8.17а)
В этой системе уравнений известными являются
; неизвестными —
.
Совместное решение (8.17) и (8.17а) дает
(8.176)
Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в (8.16) сопряжены не только
но и
. Поэтому свободный ток
Угловая частота
и коэффициент затухания 6 известны из решения характеристического уравнения.
Определение двух неизвестных А и v производят и в этом случае по значениям
.
Продифференцировав по времени уравнение (8.18), получим
(8.18а)
Запишем уравнение (8.18а) при
:
Таким образом, для нахождения неизвестных А и v имеем два уравнения:
Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток
Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (8.20):
Запишем (8.20)—(8.22) при
:
Система уравнений (8.23) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:
Все остальные входящие в нее величины
известны.
Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины и ее производной (производных) при
рекомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на С и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.
Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процессов классическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых начальных условиях.
Пример 80. В схеме рис. 8.17 до замыкания ключа был установившийся режим:
; С = 100 мкФ; Е = 150 В.
Рис. 8.17
Требуется найти; 1) полные, принужденные и свободные составляющие токов
при
а также начальное значение производной от свободного напряжения на конденсаторе; 2) токи
и напряжение
в функции времени.
Решение первой части задачи. До коммутации
Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе
.
Найдем принужденные значения токов и напряжений после коммутации:
По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями при
Поэтому
Из уравнения
получим
По первому закону Кирхгофа
Следовательно,
.
Свободные составляющие тока и напряжения при
определим как разности между полными и принужденными величинами:
Так как свободный ток через конденсатор
В рассматриваемом примере
Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы
имеет один корень
Каждый ток равен сумме принужденной и свободной составляющей
, где равно значению свободной Составляющей при
(рис. 8.18):
Пример 81. В схеме рис. 8.19 до замыкания ключа был установившийся режим
;
;
Требуется определить: 1)
; 2) закон изменения тока в цепи после коммутации.
Решение первой части задачи. Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации
Мгновенное значение тока до коммутации
.
В момент коммутации (при
)
При нужденный ток после коммутации
Мгновенное значгнж
жденного тока
По первому закону коммутации
.
Но
Следовательно,
.
Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение
имеет корень
Рис. 8.18
Рис. 8.19
Рис. 8.20
По данным первой части задачи ток в цепи до коммутации (кривая
на рис. 8.20 до
Мгновенное значение принужденного тока после коммутации (кривая 2 на рис 8.20)
Следовательно,
Кривая 3 на рис. 8.20 определяет характер изменения свободного тока, кривая 4 — полного тока после коммутации (ординаты кривой 4 при
равны сумме ординат кривых 2 и 3).
Пример 82. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения
при замыкании ключа К разряжается на L и
(рис. 8.21, а). Вывести формулы и построить графики изменения во времени
, когда корни характеристического уравнения: а) действительные; б) комплексно-сопряженные.
Решение. Корни уравнения
равны
.
Они действительны при
и комплексно-сопряжены при
При
корни равны. Соответствующее этому случаю R называют критическим. При решении учтем, что
.
а) Полагаем
— действительные корни. Тогда
Составим два уравнения для определения
и
:
Отсюда
Рис. 8.21
Следовательно,
Графики
для случая а) даны на рис. 8.21, б. Для случая б) корни
где
Напряжение
Здесь
, угол
находится во второй четверти. Из начальных условий
Отсюда
Постоянная
Графики
изображены на рис. 8.21,
.
Пример 83. В схеме рис. 8.22 ключ замыкается в третьей ветви. До этого был установившийся режим:
. Требуется найти:
Решение первой части задачи. До замыкания ключа
Принужденный ток после коммутации
. Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому
Рис. 8.22
От постоянного тока на индуктивном элементе нет падения напряжения, следовательно,
.
Принужденное напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на R, от тока
. По первому закону коммутации
. Но
, откуда
или
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура образованного первой и третьей ветвями:
Так как
, то
Свободная составляющая
Чтобы определить
, составим уравнение для свободных составляющю по контуру, образованному первой и второй ветвями:
откуда
Но
. Следовательно,
Свободное напряжение на конденсаторе при
подсчитаем по втором) закону коммутации:
отсюда
.
Определим скорость изменения свободной составляющей напряжения на конденсаторе при
. С этой целью воспользуемся тем, что
. Следовательно,
Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение
Рис. 8.23
имеет два комплексно-сопряженных корня:
Поэтому свободная составляющая должна быть взята в виде
где
; А и v определяются по значению свободной составляющей и ее первой производной при
. По данным первой части задачи,
При
Производная функция
.
Значение этой производной при
равно —
.
Найдем значения А и v для свободной составляющей тока
Для этого составим два уравнения:
Совместное решение их дает
. Следовательно,
Кривая
на рис. 8.23 выражает собой график
. Найдем А и v для свободной составляющей напряжения
Отсюда
. Таким образом,
Кривая 2 на рис. 8.23 изображает
.
Пример 84. В схеме рис. 8.22
. Параметры схемы те же что и в примере 83. До замыкания ключа в схеме был установившийся режим.
Требуется найти:
;
2)
.
Решение первой части задачи. До коммутации
Определим принужденные токи и напряжения на конденсаторе после коммутации.
Входное сопротивление цепи
Тогда
Мгновенное значение принужденного тока после коммутации
Комплексное сопротивление параллельно соединенных второй и третьей ветвей
Комплексное напряжение на параллельном участке
Отсюда
Мгновенные значения принужденных токов
и
после коммутации:
Принужденное напряжение на конденсаторе
Мгновенное значение принужденого напряжения на конденсаторе после коммутации
По первому закону коммутации,
Свободное напряжение на конденсаторе
найдем по второму закону коммутации:
Для определения
составим уравнение по контуру, образованному первой и третьей ветвями:
Заменим в нем
на
и, учтя, что
, получим
Чтобы найти
составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями:
откуда
Решение второй части задачи. По данным, полученным при решении первой части,
Корни характеристического уравнения те же, что и в предыдущем примере. Определим А и v для
, составим два уравнения:
откуда
.
Следовательно,
Найдем А и v для
, составим два уравнения:
Их совместное решение дает
. Таким образом
.