Глава девятая. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД. СИГНАЛЫ

§ 9.1. Ряд Фурье в комплексной форме записи.

Как известно из предыдущего (см. § 7.2), в ряд Фурье можно разложить любую периодическую функцию удовлетворяющую условиям Дирихле.

Обозначим период функции Т, а основную частоту — Ряд Фурье можно записать двояко.

Первая форма записи:

вторая форма записи:

где — постоянная составляющая ряда; — амплитуда -гармоники ряда; — начальная фаза -гармоники;

Из курса математики известно, что . Следовательно,

Подставив правую часть формулы (9.5) в выражение (9.1), получим

(9.5а)

Обозначим

(9.7)

Тогда ряд (9.5а) можно записать так:

Формула (9.8) представляет собой комплексную форму записи ряда Фурье. Текущий индекс k может принимать все целые числовые значения от — до но не может равняться нулю, так как постоянная составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого.

Пример 109. Представить функцию — 45°) в комплексной форме записи.

Решение.

Составим выражение для комплексной амплитуды По определению [см. формулу (9.6)],

где определяется формулой (9.3), — формулой (9.4).

Подставим правые части формул (9.3) и (9.4) в формулу (9.9):

или

Подставим правую часть формулы (9.10) в формулу (9.8):