§ 18.4. Параметрические колебания.

Возникающие в электрических цепях без источников ЭДС и источников тока незатухающие колебания, обусловленные периодическим изменением индуктивности или емкости системы, называют параметрическими. Колебания поддерживаются за счет работы механической силы при периодическом изменении параметра либо за счет энергии, вносимой в цепь при периодическом изменении параметра электрическим путем. Частота первой гармоники параметрических колебаний оказывается в два раза меньше частоты изменения параметра.

На рис. 18.5, а изображена простейшая цепь, в которой при определенных условиях возникают колебания рассматриваемого типа. Цепь состоит из катушки индуктивностью L, нелинейного резистора, ограничивающего амплитуду колебаний и конденсатора, емкость которого изменяется во времени: . (Предположение, что , принято только для облегчения решения.)

Сначала рассмотрим случай, когда емкость конденсатора изменяется механическим путем.

Внешняя сила, совершающая работу при изменении емкости конденсатора, доставляет в цепь энергию. Эта энергия равна потерям в активном сопротивлении. По второму закону Кирхгофа,

В соответствии с формулой (18.2) последнее слагаемое представим так:

Подставим в это уравнение разобьем его на синусные и косинусные составляющие частоты (высшими гармониками пренебрежем) и решим относительно квадрата амплитуды тока

При колебания существуют; при (рис. 18.5, б); определяют как корни уравнения . При

Условием возникновения колебаний в этом случае является

Качественно поясним сущность процесса поступления энергии в цепь при изменении емкости конденсатора во времени. Энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора емкостью С с зарядом на пластинах, . Если при неизменном q емкость изменить на , то энергия станет равной

Приращение энергии

Верхняя кривая (рис. 18.5, в) изображает изменяющийся по синусоидальному закону во времени заряд q. Средняя кривая иллюстрирует характер изменения емкости во времени (для простоты рассуждений он принят не синусоидальным, а прямоугольным). Когда заряд q проходит через максимум, тоемкость почти скачком уменьшается когда через нуль, то емкость почти скачком возрастает

Уменьшение емкости соответствует раздвиганию пластин конденсатора, а увеличение — их сближению. Поэтому, чтобы при емкость почти скачком уменьшить, нужно быстро раздвинуть пластины. Но пластины заряженного конденсатора притягиваются друг к другу. Следовательно, для того чтобы раздвинуть пластины, внешний источник энергии должен затратить работу на преодоление сил их притяжения.

Рис. 18.6

Эта работа переходит в энергию электрического поля конденсатора. За период изменения q энергия конденсатора дважды возрастает на

Сближение пластин (увеличение С) происходит при , когда силы, действующие на пластины (силы поля), равны нулю. Поэтому при сближении пластин внешняя сила не совершает работы.

Поступление энергии в параметрическую цепь при изменении параметра цепи называют накачкой энергии. Рис. 18.5, в качественно поясняет также, почему частота колебаний на схеме в рис. 18.5, а в два раза меньше частоты изменения параметра (емкости). Если емкость стала бы изменяться во времени в соответствии с пунктирной кривой (рис. 18.5, в), то энергия в этом случае в цепь не доставлялась бы (не накачивалась), ибо сколько энергии доставит в цепь внешний источник при уменьшении емкости, столько же цепь отдаст ему обратно при ее увеличении. Накачка энергии в цепь может происходить не только при изменении емкости, но и при изменении индуктивности во времени.