§ 117. Плоская анизотропная модель

Адекватность изотропной модели для описания поздних этапов эволюции Вселенной сама по себе не дает оснований ожидать, что она столь же пригодна и для описания ранних стадий эволюции, — вблизи особой точки по времени. Этот вопрос будет детально обсужден в § 119, а в этом и следующем параграфах будут предварительно рассмотрены решения уравнений Эйнштейна, тоже обладающие особой точкой по времени, но принципиально отличных (от фридмановской особенности) типов.

Будем искать решение, в котором все компоненты метрического тензора являются, при надлежащем выборе системы отсчета, функциями лишь одной переменной — времени . Такой вопрос рассматривался уже в § 109, где, однако, был рассмотрен только случай, когда определитель . Теперь уже будем считать этот определитель отличным от нуля. Как было показано в § 109, в таком случае можно, без ограничения общности, положить все . Преобразованием переменной , согласно , можно затем обратить в единицу, так что мы получим синхронную систему отсчета, в которой

(117,1)

Теперь мы можем воспользоваться уравнениями Эйнштейна в виде (97,11-13). Поскольку величины а с ними и компоненты трехмерного тензора не зависят от координат то . По той же причине и в результате уравнения гравитационного поля в пустоте сводятся к следующей системе:

(117,3)

Из (117,3) следует, что

(117,4)

где — постоянные величины. Упрощая по индексам , получим;

откуда видно, что . Без ограничения общности можно положить (это достигается просто изменением масштаба координат , тогда . Подстановка (117,4) в уравнение (117,2) дает теперь соотношение

(117,5)

связывающее между собой постоянные .

Далее, опустив в (117,4) индекс перепишем эти равенства в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений для :

(117,6)

Совокупность коэффициентов можно рассматривать как матрицу некоторой линейной подстановки. Путем соответствующего линейного преобразования координат (или, что эквивалентно, величин ) можно, вообще говоря, привести эту матрицу к диагональному виду. Обозначим ее главные значения посредством и будем считать, что все они вещественны и различны (о других случаях — см. ниже); единичные векторы в соответствующих главных направлениях пусть будут Тогда решение уравнений (117,6) можно представить в виде

(117,7)

(постоянные коэффициенты при степенях t можно обратить в единицу путем соответствующего выбора масштаба координат). Наконец, выбрав направления векторов ), , в качестве окончательного направления осей (назовем их х, у, z), приведем метрику к виду

(117,8)

(E. Kasner, 1922). Здесь любые три числа, удовлетворяющие двум соотношениям:

(117,9)

(первое следует из , а второе получается затем из (117,5)).

Три числа не могут, очевидно, иметь одинаковые значения. Равенство двух из них имеет место в тройках значений и . Во всех других случаях числа различны, причем одно из них отрицательно, а два других положительны. Если расположить их в порядке то их значения будут лежать в интервалах

Таким образом, метрика (117,8) соответствует плоскому однородному, но анизотропному пространству, все объемы в котором растут (с увеличением времени) пропорционально i, причем линейные расстояния вдоль двух осей увеличиваются, а вдоль одной убывают. Момент является особой точкой решения; метрика имеет в ней особенность, не устранимую никаким преобразованием системы отсчета, причем инварианты тензора четырехмерной кривизны обращаются в бесконечность. Исключением является лишь случай при этих значениях мы имеем дело просто с плоским пространством-временем: преобразованием метрика (117,8) приводится к галилеевой.

Метрика (117,8) является точным решением уравнений Эйнштейна для пустого пространства. Но вблизи особой точки, при малых t, она остается приближенным (с точностью до членов главного порядка ) решением уравнений и при наличии равномерно распределенной в пространстве материн. Скорость и ход изменения плотности материи определяются при этом просто уравнениями ее движения в заданном гравитационном поле, а обратное влияние материи на ноле оказывается пренебрежимым. Плотность материи стремится к бесконечности при — в соответствии с физическим характером особенности (см. задачу 3).

Задачи

1. Найти решение уравнений (117,6), соответствующее случаю, когда матрица имеет одно вещественное и два комплексных главных значения.

Решение. В этом случае переменная , от которой зависят все величины, должна иметь пространственный характер; обозначим ее как . Соответственно в (117,1) должно быть теперь Уравнения же не меняются.

Векторы в (117,7) становятся комплексными: где — единичные векторы. Выбирая оси в направлениях , получим решение в виде

где a — постоянная (которую уже нельзя устранить, выбором масштаба вдоль оси не изменив других коэффициентов в написанных выражениях). Числа по-прежнему удовлетворяют соотношениям (117,9), причем вещественное число либо меньше , либо больше единицы.

2. То же в случае совпадающих двух главных значений Решение. Как известно, из общей теории линейных дифференциальных уравнений, в этом случае система (117,6) может быть приведена к следующему каноническому виду:

где — постоянная. При мы возвращаемся к (117,8). При можно положить ; тогда

Из условия находим, что Надлежащим выбором масштаба вдоль осей окончательно приводим метрику к следующему виду:

Числа могут иметь значения 1, 0 или —1/3, 2/3,

3. Вблизи особой точки найти закон изменения со временем плотности материи, равномерно распределенной в пространстве с метрикой (117,8).

Решение. Пренебрегая обратным влиянием материи на поле, исходим из гидродинамических уравнений движения

содержащихся в уравнениях (см. «Гидродинамика», § 134). Здесь — плотность энтропии; вблизи особенности надо пользоваться ультрарелятивистским уравнением состояния и тогда

Обозначим временные множители в (117,8) посредством Поскольку все величины зависят только от времени, а , уравнения (1) дают

Отсюда

(2)

Согласно (3) все коварнантные составляющие — одинакового порядка величины. Из контравариантных же компонент наиболее велика (при ). Сохранив в тождестве лишь наибольшие члены, получим поэтому и затем из (2) и (3):

или

Как и следовало, стремится при к бесконечности для всех значений за исключением лишь , — в соответствии с тем, что особенность в метрике с показателями (0, 0,1) фиктивна.

Справедливость использованного приближения проверяется оценкой компонент Топущенных в правых частях уравнений (117,2-3), Главные члены в них:

Все они действительно растут при медленнее, чем левые стороны уравнений, возрастающие как