§ 70. Излучение при кулоновом взаимодействии

В этом параграфе мы выведем для справочных целей ряд формул, относящихся к дипольному излучению системы из двух заряженных частиц; предполагается, что скорости частиц малы по сравнению со скоростью света.

Равномерное движение системы как целого (т. е. движение ее центра инерции) не представляет интереса, так как не приводит к излучению; поэтому мы должны рассматривать только относительное движение частиц. Выберем начало координат в центре инерции. Тогда дипольный момент системы напишется в виде

где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, есть радиус-вектор между ними, а — приведенная масса.

Начнем с излучения, сопровождающего эллиптическое движение двух притягивающихся по закону Кулона частиц. Как известно из механики (см. I § 15), это движение может быть описано как движение частицы с массой по эллипсу, уравнение которого в полярных координатах имеет вид

где большая полуось а и эксцентриситет равны

Здесь есть полная энергия частиц (без энергии покоя!), отрицательная при финитном движении; — момент количества движения; а — постоянная закона Кулона:

Зависимость координат от времени может быть записана в виде параметрических уравнений

(70,4)

Одному полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра от нуля до период движения равен

Определим компоненты Фурье дипольного момента. Ввиду периодичности движения речь идет о разложении в ряд Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-вектору , то задача сводится к вычислению компонент Фурье от координат Зависимость и у от времени определяется параметрическими уравнениями

Здесь введена частота

Вместо компонент Фурье от координат удобнее вычислять компоненты Фурье от скоростей, воспользовавшись тем, что Имеем:

Но переходя от интегрирования по к интегрированию по имеем, таким образом:

Аналогичным образом находим:

(при переходе от первого интеграла ко второму в подынтегральном выражении пишем ; тогда интеграл от первого члена берется и притом тождественно обращается в нуль).

Наконец, воспользуемся известной формулой теории функций Бесселя

где — функция Бесселя целочисленного порядка п. В результате окончательно получаем следующие выражения для искомых компонент Фурье:

(штрих у функции Бесселя обозначает дифференцирование по ее аргументу).

Выражение для интенсивности монохроматических компонент излучения получается подстановкой в формулу

(см. ). Выразив при этом а и через характеристики частиц, получим окончательно:

Выпишем, в частности, асимптотическую формулу для интенсивности очень высоких гармоник (большие ) при движении по близкой к параболе орбите ( близко к 1). Для этого используем асимптотическую формулу

где Ф — функция Эйри (определенная в примечании на стр. 201). Подстановка в (70,8) дает:

Этот результат может быть выражен также и через функции Макдональда :

(нужные для этого формулы приведены в примечаниях на стр. 201, 265).

Рассмотрим далее столкновение двух притягивающихся заряженных частиц. Их относительное движение описывается как движение частиц с массой по гиперболе

(70,11)

где

(70,12)

(теперь ). Зависимость от времени определяется параметрическими уравнениями

(70,13)

где параметр пробегает значения от до Для координат имеем:

(70,14)

Вычисление компонент Фурье (речь идет теперь о разложении в интеграл Фурье) производится в точности аналогично предыдущему случаю. В результате получаем:

(70,15)

где — функция Ганкеля рода ранга и введено обозначение

(70,16)

— относительная скорость частиц на бесконечности; энергия

При вычислении использована известная формула

(70,17)

Подставляя (70,15) в формулу

(см. (67,10)), получим

(70,18)

Большой интерес представляет «эффективное излучение» при рассеянии пучка параллельно движущихся частиц (см. § 68). Для его вычисления умножаем на и интегрируем по всем от нуля до бесконечности. Интегрирование по заменяем интегрированием по (в пределах от 1 до ), воспользовавшись тем, что это соотношение получается из определений (70,12), в которых момент М и энергия связаны с прицельным расстоянием и скоростью посредством

Получающийся интеграл берется с помощью формулы

где — любое решение уравнения Бесселя порядка Имея в виду, что при функция Ганкеля обращается в нуль, получим в результате следующую формулу:

Рассмотрим особо предельные случаи малых и больших частот. В интеграле

(70,20)

определяющем функцию Ганкеля, существенна только та область значений переменной интегрирования в которой экспонента имеет порядок величины единицы.

При малых частотах существенна поэтому область больших . Но при больших имеем Таким образом, приближенно

Аналогичным образом найдем, что

Воспользовавшись, наконец, известным из теории функций Бесселя приближенным выражением (при малых )

( где С — постоянная Эйлера; ) получим следующее выражение для эффективного излучения при малых частотах:

Оно зависит от частоты логарифмически.

При больших частотах в интеграле (70,20) существенны, напротив, малые Соответственно этому разлагаем экспоненту подынтегрального выражения по степеням и имеем приближенно:

Этот интеграл подстановкой приводится к Г-функции, и в результате получается

Аналогичным образом найдем:

Наконец, воспользовавшись известной формулой теории Г-функций

получим для эффективного излучения при больших частотах:

(70,22)

т. е. выражение, не зависящее от частоты.

Перейдем теперь к тормозному излучению при столкновении двух отталкивающихся по закону частиц. Движение происходит по гиперболе

(70,23)

(а и — из (70,12)). Все вычисления для этого случая непосредственно приводятся к произведенным выше, так что нет необходимости производить их заново. Действительно, интеграл

для компоненты Фурье координаты подстановкой приводится к такому же интегралу для случая притяжения, умноженному на то же самое имеет место для .

Таким образом, выражения для компонент Фурье в случае отталкивания отличаются от соответствующих выражений для случая притяжения множителями . В формулах же для излучения появятся, следовательно, лишние множители в частности, для малых частот получается прежняя формула (70,21) (так как при ). Для больших частот эффективное излучение имеет вид

(70,25)

Оно убывает экспоненциально с увеличением частоты.

Задачи

1. Определить полную среднюю интенсивность излучения при эллиптическом движении двух притягивающихся зарядов.

Решение. С выражением (70,1) для дипольного момента имеем для полной интенсивности излучения:

причем мы воспользовались уравнением движения

Координату выражаем через согласно уравнению орбиты (70,2), а интегрирование по времени с помощью равенства заменяем интегрированием по углу (от 0 до ). В результате находим для средней интенсивности:

2. Определить полное излучение AS при столкновении двух заряженных частиц.

Решение. В случае притяжения траекторией является гипербола (70,11), а в случае отталкивания — (70,23). Асимптоты гиперболы образуют с ее осью угол определяемый из а угол отклонения частиц (в системе координат, в которой центр инерции покоится) есть . Вычисление производится так же, как в задаче 1 (интеграл по берется в пределах между ). В результате находим в случае притяжения:

в случае отталкивания:

В обоих случаях под понимается положительный угол, определяемый из соотношения

При лобовом столкновении отталкивающихся зарядов переход к пределу

3. Определить полное эффективное излучение при рассеянии потока частиц в кулоновом поле отталкивания.

Решение. Искомая величина есть

Интегрирование по времени заменяем интегрированием по вдоль траектории заряда, написав , где радиальная скорость выражается через по формуле

Интегрирование по производится в пределах от бесконечности до ближайшего к центру расстояния (точка, в которой и затем от снова к бесконечности; это сводится к удвоенному интегралу от до

Вычисление двойного интеграла удобно производить, переменив порядок интегрирования — сначала до , а затем по . В результате получим:

4. Определить угловое распределение полного излучения при пролете одного заряда мимо другого, если скорость настолько велика (хотя и мала по сравнению со скоростью света), что отклонение от прямолинейности движения можно считать малым.

Решение. Угол отклонения мал, если кинетическая энергия велика по сравнению с потенциальной энергией, порядок величины которой есть . Выберем плоскость движения в качестве плоскости ху с началом координат в центре инерции и с осью х вдоль направления скорости. В первом приближении траектория есть прямая . В следующем приближении уравнения движения дают:

причем

С помощью формулы (67,7) имеем:

где — единичный вектор в направлении . Выражая подынтегральное выражение через и производя интегрирование, получим: