§ 17. Уравнения движения заряда в поле

Заряд, находящийся в поле, не только подвергается воздействию со стороны поля, но в свою очередь сам влияет на поле, изменяя его. Однако если заряд не велик, то его действием на поле можно пренебречь. В этом случае, рассматривая движение в заданном поле, можно считать, что само поле не зависит ни от координат, ни от скорости заряда.

Точные условия, которым должен удовлетворять заряд для того, чтобы он мог считаться в указанном смысле малым, будут выяснены в дальнейшем (§ 75). Ниже мы будем считать это условие выполленным.

Итак, нам надо найти уравнения движения заряда в заданном электромагнитном поле. Эти уравнения получаются варьированием действия, т. е. даются уравнениями Лагранжа

где L определяется формулой (16,4).

Производная есть обобщенный импульс частицы (16,5). Далее пишем:

Но по известной формуле векторного анализа

где а и b — любые два вектора. Применяя эту формулу к и помня, что дифференцирование по производится при постоянном v, находим:

Уравнения Лагранжа, следовательно, имеют вид

Но полный дифференциал складывается из двух частей: из изменения векторного потенциала со временем в данной точке пространства и из изменения при переходе от одной точки пространства к другой на расстояние . Эта вторая часть равна . Таким образом,

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:

Это и есть уравнение движения частицы в электромагнитном - поле. Слева стоит производная от импульса частицы по времени. Следовательно, выражение в правой части (17,2) есть сила, действующая на заряд в электромагнитном поле.

Мы видим, что эта сила состоит из двух частей. Первая часть (первый и второй члены в правой части (17,2)) не зависит от скорости частицы. Вторая часть (третий член) зависит от этой скорости: пропорциональна величине скорости и перпендикулярна к ней.

Силу первого рода, отнесенную к заряду, равному единице, называют напряженностью электрического поля; обозначим ее посредством Е. Итак, по определению,

Множитель при скорости, точнее при в силе второго рода, действующей на единичный заряд, называют напряженностью магнитного поля обозначим ее через Н. Итак, по определению,

Если в электромагнитном поле , то говорят об электрическом поле-, если же , то поле называют магнитным. В общем случае электромагнитное поле является наложением полей электрического и магнитного.

Отметим, что Е представляет собой полярный, а Н — аксиальный вектор.

Уравнения движения заряда в электромагнитном поле можно теперь написать в виде

Стоящее справа выражение носит название лоренцевой силы. Первая ее часть — сила, с которой действует электрическое поле на заряд, — не зависит от скорости заряда и ориентирована по направлению поля Е. Вторая часть — сила, оказываемая магнитным полем на заряд, — пропорциональна скорости заряда и направлена перпендикулярно к этой скорости и к направлению магнитного поля Н.

Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света, импульс приближенно равен своему классическому выражению и уравнение движения (17,5) переходит в

Выведем еще уравнение, определяющее изменение кинетической энергии частицы со временем, т. е. производную

Дегко убедиться, что

подставляя из (17,5) и замечая, что имеем

Изменение кинетической энергии со временем есть работа, произведенная полем над частицей (в единицу времени). Из (17,7) видно, что эта работа равна произведению, скорости заряда на силу, с которой действует на него электрическое поле. Работа поля за время т. е. при перемещении заряда на равна

Подчеркнем, что работу над зарядом производит только электрическое поле; магнитное поле не производит работы над движущимся в нем зарядом. Последнее связано с тем, что сила, с которой магнитное поле действует на частицу, всегда перпендикулярна к ее скорости.

Уравнения механики инвариантны по отношению к перемене знака у времени, т. е. по отношению к замене будущего прошедшим. Другими словами, в механике оба направления времени эквивалентны. Это значит, что если согласно уравнениям механики возможно какое-нибудь движение, то возможно и обратное движение, при котором система проходит те же состояния в обратном порядке.

Легко видеть, что то же самое имеет место и в электромагнитном поле в теории относительности. При этом, однако, вместе с заменой t на —t надо изменить знак магнитного поля. Действительно, легко видеть, что уравнения движения (17,5) не меняются, если произвести замену

При этом, согласно (17,3-4), скалярный потенциал не меняется, а векторный меняет знак:

Таким образом, если в электромагнитном поле возможно некоторое движение, то возможно и обратное движение в поле с обратным направлением Н.

Задача

Выразить ускорение частицы через ее скорость и напряженности электрического и магнитного полей.

Решение. Подставляем в уравнение движения (17,5) выражаем согласно (17,7). В результате найдем: