§ 89. Вращение

Особым случаем стационарных гравитационных полей является поле, возникающее при переходе к равномерно вращающейся системе отсчета.

Для определения интервала ds произведем преобразование от неподвижной (инерциальной) системы к равномерно вращающейся. В неподвижной системе координат (мы пользуемся цилиндрическими пространственными координатами) интервал имеет вид

Во вращающейся системе цилиндрические координаты пусть будут . Если ось вращения совпадает с осями z и z, то имеем , где — угловая скорость вращения. Подставляя в (89,1), находим искомое выражение для интервала во вращающейся системе отсчета:

Необходимо отметить, что вращающейся системой отсчета можно пользоваться только до расстояний, равных . Действительно, из (89.2) видно, что при , величина становится отрицательной, что недопустимо. Неприменимость вращающейся системы отсчета на больших расстояниях связана с тем, что скорость вращения сделалась бы на них большей скорости света, и потому такая система не может быть осуществлена реальными телами.

Как и во всяком стационарном поле, на вращающемся теле часы не могут быть однозначно синхронизованы во всех точках. Производя синхронизацию вдоль некоторой замкнутой линии, мы получим, возвратясь в исходную точку, время, отличающееся от первоначального на величину (см. (88,5))

или, предполагая, что (т. е. скорость вращения мала по сравнению со скоростью света),

где S — площадь проекции контура на плоскость, перпендикулярную к оси вращения (знак или — имеет место соответственно при обходе контура по или против направления вращения).

Предположим, что по некоторому замкнутому контуру распространяется луч света. Вычислим с точностью до членов порядка время t, которое проходит между отправлением луча света и возвращением его в исходную точку. Скорость света, по определению, всегда равна с, если время синхронизуется вдоль данной замкнутой линии и в каждой точке пользуемся собственным временем. Поскольку разница между собственным и мировым временем — порядка то при вычислении искомого промежутка времени t с точностью до величин порядка этой разницей можно пренебречь. Поэтому имеем:

где L — длина контура. Соответственно этому скорость света, измеренная как отношение оказывается равной

Эту формулу, как и формулу для первого приближения эффекта Доплера, можно легко вывести и чисто классическим путем.

Задача

Определить элемент пространственного расстояния во вращающейся системе координат.

Решение. С помощью (84,6-7) находим:

чем определяется пространственная геометрия во вращающейся системе отсчета. Отметим, что отношение длины окружности в плоскости (с центром на оси вращения) к ее радиусу равно