§ 57. Отображение широкими пучками лучей

Рассмотренное в предыдущем параграфе отображение предметов с помощью тонких пучков лучей является приближенным; оно тем точнее (т. е. резче), чем уже эти пучки. Перейдем теперь к вопросу об отображении предметов пучками лучей произвольной ширины.

В противоположность отображению предметов тонкими пучками, которое можно осуществить с любой оптической системой, обладающей аксиальной симметрией, отображение широкими пучками возможно только с помощью определенным образом построенных оптических систем. Даже с этим ограничением возможно, как уже указывалось в § 56, отображение далеко не всех точек пространства.

Дальнейшие выводы основаны на следующем существенном замечании. Пусть все лучи., выходящие из некоторой точки О и проходящие через оптическую систему, вновь пересекаются в некоторой другой точке: О. Легко видеть, что оптическая длина пути одинакова для всех этих лучей. Действительно, вблизи каждой из точек О, (У волновые поверхности для непересекающихся в них лучей являются сферами с центрами, соответственна в О и О' и в пределе, при приближении к О и O', вырождаются в эти точки. Но волновые поверхности являются поверхностями постоянной фазы» и поэтому изменения фазы вдоль, разных лучей между точками их пересечения двух определенных волновых поверхностей одинаковы. Из сказанного следует, что одинаковы (для разных лучей) и нолные изменения фазы между точкам» О и О'.

Выясним условия, необходимые для осуществления отображения широкими пучками малого отрезка прямой; изображение представляет собой при этом тоже малый отрезок прямой. Выберем направления этих отрезков за направления осей (назовем их и ) с началами О и О в каких-либо соответствующих друг другу точках предмета и изображения. Пусть есть оптическая длина пути для лучей, выходящих из О и приходящих в О. Для лучей, выходящих из бесконечно близкой к О точки с координатой и сходящихся в точке изображения с координатой оптическая длина пути есть где

Введем «увеличение» при отображении

как отношение длины элемента изображения к длине отображаемого элемента . В силу малости отображаемого отрезка увеличение а можно считать величиной, постоянной вдоль его длины. Написав так же, как обычно, — косинусы углов между направлениями луча и соответственно осями g и ), получим:

Как и для всякой пары соответствующих друг другу точек предмета и изображения, оптическая длина пути должна быть одинаковой для всех лучей, выходящих из точки с координатой и приходящих в точку d. Отсюда получаем условие:

(57,1)

Это и есть искомое условие, которому должен удовлетворять ход лучей в оптической системе при отображении широкими пучками малого отрезка прямой. Соотношение (57,1) должно выполняться для всех лучей, выходящих из точки О.

Применим теперь полученное условие к отображению с помощью аксиально-симметричной оптической системы.

Начнем с отображения отрезка прямой, лежащего на оптической оси системы (ось х), из соображений симметрии очевидно, что изображение будет тоже лежать на оси. Луч, идущий вдоль оптической оси в силу аксиальной симметрии системы не меняет своего направления при прохождении через нее, т. е. . Отсюда следует, что const в (57,1) равна в рассматриваемом случае и мы можем переписать (57,1) в виде

Обозначая посредством углы, образуемые лучами с оптической осью в точках предмета и изображения, имеем:

Таким образом, получим условие отображения в виде

(57,2)

Далее, рассмотрим отображение малого участка плоскости, перпендикулярной к оптической оси аксиально-симметричной системы; изображение будет, очевидно, тоже перпендикулярно к этой оси. Применяя (57,1) к любому отрезку, лежащему в отображенной плоскости, получим:

где — по-прежнему углы между лучом и оптической осью. Для лучей, вышедших из точки пересечения изображаемой плоскости с оптической осью в направлении этой оси должно быть, в силу симметрии, и . Поэтому и мы получаем условие отображения в виде

(57,3)

Что касается отображения широкими пучками трехмерных предметов, то легко видеть, что оно невозможно даже при малом объеме тела, поскольку условия (57,2) и (57,3) несовместимы друг с другом.