§ 75. Торможение излучением

В § 65 было показано, что разложение потенциалов поля системы зарядов в ряд по степеням приводит во втором приближении к функции Лагранжа, вполне определяющей (в этом приближении) движение зарядов. Произведем теперь разложение поля до членов более высокого порядка и выясним, к каким эффектам приводят эти члены.

В разложении скалярного потенциала

член третьего порядка по 1/с равен

По тем же причинам, что и при выводе (65,3), в разложении векторного потенциала мы должны взять только член второго порядка по 1/с, т. е.

Произведем преобразование потенциалов:

выбрав функцию f таким образом, чтобы скалярный потенциал обратился в нуль:

Тогда новый векторный потенциал будет равен

Переходя здесь от интегралов к суммам по отдельным зарядам, для первого слагаемого в правой части получим выражение — . Во втором слагаемом пишем , где имеют обычный смысл (см. § 66); тогда , и второе слагаемое принимает вид . Таким образом,

Соответствующее этому потенциалу магнитное поле равно нулю ) поскольку не содержит явным образом координат. Электрическое же поле, равно

где d — дипольный момент системы.

Таким образом, члены третьего порядка в разложении поля приводят к появлению дополнительных действующих на заряды сил, не содержащихся в функции Лагранжа (65,7); эти силы зависят от производных по времени от ускорения зарядов.

Рассмотрим систему зарядов, совершающих стационарное движение и вычислим среднюю работу, производимую полем (75,4) за единицу времени. На каждый заряд действует сила , т. е.

В единицу времени эта сила производит работу, равную ; полная работа, совершенная над всеми зарядами, равна сумме по зарядам:

При усреднении по времени первый член исчезает, так что средняя работа оказывается равной

Но стоящее справа выражение есть не что иное, как (взятое с обратным знаком) среднее излучение энергии системой за единицу времени (см. (67,8)). Таким образом, возникающие в третьем приближении силы (75,5) описывают обратное действие излучения на заряды. Эти силы носят название торможения излучением или лоренцевых сил трения.

Одновременно с потерей энергии в излучающей системе зарядов происходит также и потеря момента импульса. Уменьшение момента импульса в единицу времени, , легко вычислить с помощью выражений для сил торможения. Дифференцируя момент по времени, имеем , так как . Производную по времени от импульса частицы заменяем действующей на нее силой трения (75,5) и находим:

Нас интересует среднее по времени значение потери момента импульса при стационарном движении, подобно тому как выше нас интересовала средняя потеря энергии. Написав

и замечая, что полная производная по времени (первый член) при усреднении исчезает, найдем окончательно следующее выражение для средней потери момента импульса излучающей системой:

Торможение излучением имеет место и при наличии одного движущегося во внешнем поле заряда. Оно равно

Для одной частицы можно всегда выбрать такую систему отсчета, в которой она в данный момент времени покоится. Если вычислять в такой системе дальнейшие члены разложения создаваемого зарядом поля, то легко убедиться в том, что при стремлении к нулю радиус-вектора R от заряда к точке наблюдения все эти члены обращаются в нуль. Таким образом, в случае одного заряда формула (75,8) является точным выражением для обратного действия излучения в той системе отсчета, в которой заряд покоится.

Надо, однако, иметь в виду, что описание действия заряда «самого на себя» с помощью силы торможения вообще не является вполне удовлетворительным и содержит в себе противоречия. Уравнение движения заряда в отсутствие внешнего поля, на который действует только сила (75,8), имеет вид

Это уравнение имеет, кроме тривиального решения , еще решение, в котором ускорение v пропорционально , т. е. неограниченно возрастает со временем. Это значит, например, что заряд, прошедший через какое-нибудь поле, по выходе из поля должен был бы неограниченно «само-ускоряться». Абсурдность этого результата свидетельствует об ограниченной применимости формулы (75,8).

Может возникнуть вопрос о том, каким образом электродинамика, удовлетворяющая закону сохранения энергии, может привести к абсурдному результату, в котором свободная частица неограниченно увеличивает свою энергию. Корни этой трудности находятся, в действительности, в упоминавшейся ранее (§ 37) бесконечной электромагнитной «собственной массе» элементарных частиц. Когда мы пишем в уравнениях движения конечную массу заряда, то мы этим, по существу, приписываем ему формально бесконечную же отрицательную «собственную массу» неэлектромагнитного происхождения, которая вместе с электромагнитной массой приводила бы к конечной массе частицы. Поскольку, однако, вычитание одной из другой двух бесконечностей не является вполне корректной математической операцией, то это и приводит к ряду дальнейших трудностей, в том числе и к указанной здесь.

В системе координат, в которой скорость частицы мала, уравнение движения с учетом торможения излучением имеет вид

По изложенным соображениям, это уравнение применимо только постольку, поскольку сила торможения мала по сравнению с силой, действующей на заряд со стороны внешнего поля.

Для выяснения физического смысла этого условия поступим следующим образом. В системе отсчета, в которой заряд в данный момент покоится, вторая производная от скорости по времени равна, при пренебрежении силой торможения:

Во втором члене подставляем (ограничиваясь той же точностью) и получаем:

Соответственно этому сила торможения будет состоять из двух членов:

(75,10)

Если и есть частота движения, то пропорицонально и, следовательно, первый член порядка величины второй же — порядка

Поэтому условие малости сил торможения по сравнению с действующей на заряд внешней силой дает, во-первых:

или, вводя длину волны :

(75,11)

Таким образом, формула (75,8) для торможения излучением применима только в том случае, если длина падающей на заряд волны велика по сравнению с «радиусом» заряда Мы видим, что расстояния порядка опять оказываются той границей, за которой электродинамика приходит в противоречие сама с собой (см. § 37).

Во-вторых, сравнивая второй член в силе торможения с силой , находим условие

(75,12)

(или , где ). Таким образцом, необходимо также, чтобы само поле не было слишком велико. Поля тоже являются границей, за которой классическая электродинамика приводит к внутренним противоречиям. И здесь надо иметь в виду, что в действительности электродинамика становится неприменимой, вследствие квантовых эффектов, уже при значительно меньших полях.

Напомним во избежание недоразумений, что длина волны в (75,11) и величина поля в (75,12) относятся к той системе отсчета, в которой частица в данный момент покоится.

Задача

Определить время, в течение которого два притягивающихся заряда, совершающих эллиптическое движение (со скоростью, малой в сравнении со скоростью света) и теряющие энергию вследствие излучения, «упадут» друг на друга.

Решение. Предполагая относительную потерю энергии за один оборот малой, мы можем положить производную по времени от энергии равной средней интенсивности излучения (определенной в задаче 1 § 70):

где . Наряду с энергией, частицы теряют момент количества движения.

Потеря момента в единицу времени дается формулой (75,7); подставляя в нее выражение (70,1) для d и замечая, что , находим

Это выражение усредняем по периоду движения. Учитывая медленность изменения М, в правой стороне равенства достаточно усреднить лишь ; это среднее значение вычисляется точно так, как вычислялось в задаче 1 § 70 среднее значение от . В результате находим для средней потерн момента в единицу времени следующее выражение:

(знак среднего, как и в (1), опускаем). Разделив (1) на (2), получим дифференциальное уравнение

интегрируя которое, найдем:

Постоянная интегрирования выбрана таким образом, чтобы при было , где — начальные значения момента и энергии частиц.

«Падению» частиц друг на друга соответствует Из (3) видно, что при этом, как и следовало, .

Заметим, что произведение стремится к и из формулы (70,3) видно, что эксцентриситет , т. е. по мере сближения частиц орбита приближается к окружности. Подставляя (3) в (2), определяем производную , выраженную как функция от М, после чего интегрирование по в пределах от до нуля дает время падения: