Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.6. Классические уравнения движения гравитирующей частицыДля того, чтобы вычислить некоторые классические эффекты в нашей теории, например, орбиты планет, движущихся вокруг звезды, нам необходимо свести нашу квантовую теорию к ее классической форме. Это возможно сделать, выписывая классическую теорию, как результат вариационного принципа на интеграле по траекториям, который заключает в себя действия или временной интеграл от лагранжиана. Движение, описываемое частицей, задается минимумом интеграла по траекториям, например, для свободной частицы это минимум интеграла
Что-то должно быть добавлено к интегральному выражению для того, чтобы представить гравитационные эффекты. Имеется более, чем один вариационный принцип, который может дать классическую теорию, так что мы будем использовать вариационный принцип, который дает более удобные интегралы по траекториям (фактически, принцип, приводящий к уравнению Клейна - Гордона методом интегрирования по траекториям в квантовой механике). Для заряженных частиц мы можем получить уравнения движения, вариируя интеграл
После того, как мы проделаем некоторые преобразования, приходим к следующему соотношению
где есть ротор от вектора А. Из этого уравнения, умножая на
обращается в нуль, или
есть константа, так что величина а пропорциональна собственному времени (и мы можем взять ее равным собственному времени, если то есть масса покоя частицы). Далее мы должны включить наш тензор в подынтегральное выражение соответствующим образом для того, чтобы получить правильные гравитационные уравнения. В электродинамике вектор, связанный с полем, есть просто производная смещения по отношению к 4-скаляру, т.е. скорость
где Следовательно, интеграл от лагранжиана или действие, которое должно быть провариировано, имеет следующий вид:
Введем новый тензор для того, чтобы записать действие в более компактном виде
так что действие может быть записано в виде
Начиная с последнего соотношения и ниже, обозначаем производную по отношению к параметру а знаком "штрих". Поскольку мы вариируем функционал (действие) по отношению к координатам траектории, мы получаем два равных члена от каждого из множителей
Существуют другие способы записи уравнений, которые могут быть иногда полезны. Сначала мы перегруппируем члены, в которых имеются две скорости, с одной стороны равенства
Теперь мы расщепляем второй член на две равные части и переобозначаем индексы суммирования
Уравнение движения, выраженное через такую скобку (называемую ковариантными коэффициентами связности), становится довольно простым
Имеется одно следствие этого уравнения, которое немедленно получается дифференцированием по параметру а произведения
Если мы перепишем произведение
то s - аналог собственного времени для задач гравитации. Так как
|
1 |
Оглавление
|