7.6. Кривизна в двух и четырех измерениях

Инвариантной величиной, которая характеризует геометрию способом, не зависящим от специального выбора системы координат, является кривизна. Очень просто представить себе смысл кривизны, когда мы рассматриваем двумерную поверхность: плоское неискривленное пространство, такое как плоскость, или искривленное пространство, такое как кривая поверхность. Хотя в нашей последующей работе нам понадобится работать с кривизной аналитически, сейчас следует немного поработать с двумерной геометрией, которую мы можем очень просто представить; определения кривизны в более высоких измерениях есть точные аналоги определения кривизны поверхности.

В общем случае длина дуги на двумерной поверхности задается соотношением

(7.6.1)

Хотя очевидно, что три функции включены в это выражение, инвариантная геометрия определяется только одной функцией координат; оказывается, что мы имеем определенную свободу в выборе координат, например, мы можем сделать их ортогональными; мы обладаем достаточной свободой для того, чтобы наложить два условия на функции для этого у нас есть две функции, с помощью которых мы можем делать координатные преобразования. В частности, всегда можно выбрать координаты таким образом, что

Это означает, что для целей изучения геометрических измерений на двумерной поверхности наиболее общим выражением для длины дуги является следующее соотношение:

(7.6.2)

С одной точки зрения, функция f(x,y) представляет собой множитель, на который меняются линейки, когда мы движемся по поверхности. С другой точки зрения, она очевидно определяет кривизну пространства.

Забавный пример физической ситуации, которая в точности соответствует этим геометриям, придуман одним из студентов Робертсона. Представим себе, что человек делает измерения с помощью линейки на раскаленной пластине, которая в некоторых местах горячее, чем в других. Линейка растягивается или сжимается в зависимости от того, где делаются измерения, в более горячих или более холодных областях на плоскости; очевидно, что соответствующая функция f(x,y) определяется локальной температурой и коэффициентом теплового расширения линейки.

Локальная кривизна поверхности в точке может быть определена с помощью некоторого математического критерия, включающего в себя предельный случай измерений, проделываемых со все более и более маленькими объектами. Мы могли бы, например, выбрать для сравнения отношения длины окружности к радиусу, отношения площадей кругов к квадратам радиусов; для случая сферических поверхностей эти отношения отличаются от тех, которые получаются на плоской поверхности, на множители где - отношение измеряемого радиуса к радиусу сферы. В пределе все меньших и меньших кругов эта величина отличается от единицы на величину, пропорциональную площади круга. Этот коэффициент пропорциональности есть для сферы (умноженный на 3). Это число (коэффициент, характеризующий изменение площади при отклонении длины окружности от подходит для описания локальной кривизны, известной как Внутренняя Кривизна или также как Гауссова Средняя Кривизна Площади сферической поверхности, поскольку математика всех этих понятий восходит к Гауссу.

Мы можем легко рассмотреть другие кривые поверхности. Например, легко увидеть, что цилиндрическая поверхность имеет нулевую кривизну, так как цилиндрическая поверхность может быть развернута на плоскость без растяжения, очевидно, что отношение длины окружности к радиусу должно быть в точности равно . Для более сложных случаев, если поверхности гладкие, они должны выглядеть как или параболоиды, или как гиперболические параболоиды по инфинитезимальным областям, в которых мы определили внутреннюю кривизну.

Эти поверхности описываются двумя линейными параметрами, радиусами кривизны в двух перпендикулярных плоскостях. В этом случае внутренняя кривизна определяется соотношением . Эта величина положительная, если поверхность параболическая, или отрицательная, если поверхность - гиперболический параболоид.

Мы видим, что эта величина дает правильное значение кривизны для специальных случаев сферических поверхностей и цилиндрических поверхностей; для сферы оба радиуса равны; для цилиндра один радиус равен бесконечности.

Кривизна четырехмерного пространства будет определяться аналогичным математическим критерием. Тем не менее, мы едва ли можем ожидать, что мы окажемся в состоянии мысленно построить такие простые картинки и мы должны будем полагаться главным образом на аналитические методы, поскольку наша интуиция вероятно будет нас обманывать. Очень трудно думать о четырехмерном пространстве специальной теории относительности, даже обладая хорошей интуицией, я считаю, что очень трудно наглядно представить то, что достаточно близко к нему, поскольку имеется знак минус в сигнатуре метрики. А представить себе такое пространство с кривизной было бы еще труднее. Кривую двумерную поверхность удобно представлять, как кривую поверхность, погруженную в трехмерное пространство. Но аналогичное описание для кривизны трехмерного пространства требует концептуального погружения в пространство с шестью измерениями, а проделывая эту процедуру для четырех измерений, мы должны думать о четырехмерном пространстве, которое погружено в десятимерный мир. Таким образом, кривизна пространства-времени значительно сложнее, чем кривизна поверхности.