5.5. Установившиеся течения, в которых диффузия завихренности, возникающей на твердой границе, ограничивается за счет конвекции

Существует немного решений основных уравнений гидродинамики, позволяющих аналитическим путем показать, каким образом завихренность в установившемся течении может локализоваться в некоторой области течения вблизи твердой границы. Эта локализация области распространения завихренности достигается за счет конвекции завихренности к границе, т. е. в направлении, противоположном вязкой диффузии, которая переносит завихренность, возникающую на стенке. Для существования таких решений поле скоростей в некоторой области рассматриваемого течения должно иметь направленную к границе компоненту скорости.

В силу уравнения сохранения массы это возможно только в том случае, когда накапливаемая вблизи границы жидкость удаляется либо путем отсоса через границу, либо путем непрерывного увеличения тангенциальной компоненты скорости с увеличением расстояния вдоль границы. Ниже рассматриваются один пример первого из указанных типов течений и два примера второго типа.

(а) Обтекание пластинки и цилиндра при отсосе жидкости через стенку

Некоторые материалы, такие, как пористая бронза или металлический лист с многочисленными отверстиями малого размера, обладают свойствами твердого тела и способностью принимать ту или иную заданную форму. Если слой такого материала использовать в качестве границы области течения жидкости и если обеспечить пониженное давление на внутренней стороне тела, то жидкость будет просачиваться через него. Тогда подходящее граничное условие для указанной области течения состоит в том, что нормальная компонента относительной скорости жидкости и твердого тела на границе должна быть равна некоторой величине, определяемой пористостью материала и приложенным перепадом давления; для простоты мы возьмем в качестве заданной нормальной относительной скорости постоянную для всех точек границы величину (положительное значение V будет соответствовать отсосу жидкости на границе).

Что касается граничного условия для тангенциальной компоненты относительной скорости на поверхности тела, то, согласно экспериментальным данным, условие прилипания все еще остается приемлемым и при наличии отсоса; а поскольку обычно используемые на практике значения скорости отсоса V очень малы по сравнению со скоростью основного течения (из-за большого сопротивления течению жидкости через поры), то кажется вполне разумным сохранить условие прилипания жидкости на границе, во всяком случае, как очень хорошее приближение.

Сначала мы рассмотрим решение для установившегося двумерного течения над плоской твердой границей, через которую жидкость отсасывается с постоянной скоростью Не будем пока учитывать картину течения вверх по потоку, предполагая, что переменные задачи не зависят от координат в плоскости, параллельной границе (при этом мы действуем по обычному в гидромеханике правилу: делаем какое-либо предположение и потом его проверяем). Таким образом, если (х, у, z) - прямоугольная система координат (ось у нормальна к границе), то скорость жидкости есть а завихренность есть где Уравнение для завихренности (5.2.1) принимает вид

или после интегрирования

Это уравнение просто выражает тот факт, что часть завихренности, переносимая через единицу площади в плоскости за счет

конвекции со скоростью , в точности уравновешивается величиной завихренности, переносимой за счет вязкой диффузии. Выполнив еще одно интегрирование, получим

где — константы. Отсюда видно, что область неоднородной завихренности простирается на расстояние порядка от границы; этот же результат был предсказан при общем обсуждении баланса между переносом завихренности к границе за счет конвекции и от границы за счет вязкой диффузии.

Это означает, следовательно, что подходящее решение ожидаемого вида существует. Чтобы представить это решение в удобной для практического использования форме, мы выберем специальные значения для постоянных Константа очевидно, равна постоянной завихренности вдали от границы, и ее можно положить равной нулю, что соответствует безвихревому течению в той области, куда не проникла завихренность за счет диффузии. При мы должны положить в той же области течения. После интегрирования уравнения (5.5.2) с использованием граничных условий

мы получим распределение скорости

Для завершения решения заметим, что, согласно уравнению движения, давление во всей рассматриваемой области течения постоянно. Решение (5.5.3) обладает тем примечательным свойством, что его можно считать асимптотическим решением по двум причинам. Во-первых, оно асимптотическое по времени для различных начальных условий, при которых параметры течения остаются не зависящими от х (в чем можно непосредственно убедиться путем решения линейного уравнения для завихренности со с учетом члена Во-вторых, оно асимптотическое по х для различных стационарных условий вверх по потоку. Предполагается, что вдали от границы течения завихренность в обоих случаях равна нулю.

Здесь будет уместно рассмотреть случай После интегрирования уравнения (5.5.2) находим

смысл константы можно объяснить, используя уравнение движения, которое в данных условиях принимает следующий

Заметим, что ненулевой постоянный градиент давления, равный, скажем, практически реализуется для течения жидкости в трубе или канале. При этом имеем граничные условия

Нормальная составляющая скорости на стенке канала при равна —V, так что через эту стенку жидкость нагнетается в канал. С учетом этих граничных условий имеем

Если то диффузия завихренности преобладает над конвекцией в направлении оси у и распределение скорости (5.5.4) принимает известную параболическую форму. В другом крайнем случае, когда получаем распределение скорости и исключая область вблизи где скорость и резко падает до нуля. Большой градиент скорости и вблизи обусловлен тем, что возникающая у границы течения завихренность концентрируется в тонком слое, а относительно небольшая постоянная завихренность вне этого слоя возникает у границы течения и переносится путем конвекции поперек канала. Рассматривая изменение количества движения жидкости, полученный постоянный градиент скорости в большей части канала можно объяснить постоянным ускорением элементов жидкости под действием градиента давления при их движении от стенки до области вблизи где проявляется действие вязкости.

Можно найти решение также и для течения около вращающегося кругового цилиндра, на поверхности которого задана направленная внутрь цилиндра скорость V, соответствующая отсосу через стенку. Как было установлено в § 4.5, течение, возникающее из состояния покоя при стационарном вращении твердого цилиндра (без отсоса), в пределе становится безвихревым, поскольку вся порождаемая у твердой поверхности завихренность диффундирует в бесконечность. При отсосе жидкости можно ожидать, что он будет препятствовать диффузии завихренности на бесконечность и около цилиндра образуется установившееся течение с ненулевой завихренностью. Считая, что указанное течение существует, мы получим вместо (5.5.1) следующее уравнение:

где теперь осевая компонента завихренности, радиус цилиндра. Решение имеет вид

где число Рейнольдса; константу снова можно положить равной нулю в соответствии с тем, что установившееся течение возникло при некоторых начальных условиях с для достаточно больших значений Полученное решение, как и ожидалось, дает максимальное значение завихренности на поверхности цилиндра, однако следует заметить, что со лишь незначительно уменьшается с увеличением радиуса при малых числах Рейнольдса. Последующее интегрирование (5.5.5) с учетом дает

где константа; решение (5.5.6) показывает, что касательная к окружности скорость имеет конечное значение на бесконечности только при а циркуляция имеет конечное значение только при если Если бы это стационарное решение было получено как асимптотическая форма решения нестационарной задачи с начальными условиями при постоянной (или, возможно, нулевой) циркуляции на бесконечности, то мы заключили бы, что циркуляция остается конечной и что, следовательно, когда Таким образом, при стационарное состояние будет безвихревым точно так же, как и в случае без отсоса жидкости; это означает, что конвекция не будет препятствовать завихренности, возникшей у поверхности цилиндра, распространяться в бесконечность за счет диффузии. Это становится возможным из-за того, что радиальная скорость конвекции уменьшается с увеличением расстояния от цилиндра.