2.9. Трехмерные поля течения, простирающиеся в бесконечность

Асимптотические выражения для скоростей ...

Если жидкость простирается в бесконечность во всех направлениях и находится там в состоянии покоя, а в дальнейшем будет предполагаться, что это именно так, то скорость объемного расширения А и завихренность обычно также обращаются в нуль на бесконечности. Интегральные выражения (2.4.5) и (2.4.11) для слагаемых и скорости и обусловленной заданными распределениями по-прежнему будут решениями основных уравнений (2.4.2) и (2.4.7), если только соответствующие интегралы по бесконечной области жидкости сходятся. Во многих случаях, представляющих практический интерес, величины быстро стремятся к нулю с увеличением расстояния от внутренней границы жидкости и можно наложить довольно сильные ограничения на порядки их величин, чтобы получить полезные результаты для асимптотических выражений скоростей и при больших значениях

Рассмотрим сначала безвихревое поле скорости связанное с заданным распределением величины А и определяемое выражением (2.4.5). Если достаточно быстро убывает при то величина интеграла в выражении (2.4.5) будет определяться главным образом центральной областью, окружающей начало координат; поскольку для этой области

с ошибкой порядка когда велико можно приближенно считать, что

при Это можно доказать путем рассмотрения отдельных частей интеграла (2.4.5) по области (интеграл и по области (интеграл где Если изменяется как когда велико, то интеграл пропорционален больших В подинтегральном выражении интеграла имеем следовательно, можно разложить в ряд Тейлора по х, причем достаточно написать только первый член с и учесть, что остаточный член имеет порядок При подходящем ограничении, наложенном на а именно при интегралом можно пренебречь, и тогда получается выражение (2.9.1).

Асимптотическая формула (2.9.1) определяет безвихревое поле скоростей, связанное с одиночным источником в начале координат, выделяющим объем жидкости со скоростью, равной

Если интенсивность этого источника обращается в нуль, то второй член ряда Тейлора для функции нужно сохранить, причем функция в подинтегральном выражении заменяется с ошибкой порядка на

отсюда следует, что при и более строгом ограничении имеем

В данном случае асимптотическое выражение определяет безвихревое поле скоростей, связанное с диполем источников интенсивности в начале координат (§ 2.5). Если и этот последний интеграл равен нулю, то тем же способом находится приближение более высокого порядка.

Аналогичные замечания можно сделать относительно слагаемого представляющего собой соленоидальное поле скоростей, связанное с заданным распределением вектора и определяемое по формуле (2.4.11). Можно показать точно таким же образом, что если имеет порядок когда велико, то

Это асимптотическое выражение определяет распределение соленоидальной скорости, связанное с постоянной завихренностью внутри элемента объема в начале координат (ср. (2.4.12)), причем произведение завихренности на элемент объема равно или, иначе говоря, связано с элементом вихревой нити в начале координат, причем произведение (векторного) элемента длины на интенсивность вихревой нити равно Однако все вихревые линии являются замкнутыми кривыми, расположенными в жидкости (или в некоторой расширенной области, которая выходит за пределы внутренней границы и по которой должен браться объемный интеграл в (2.4.11) и (2.9.3), как объяснялось в § 2.4); вследствие этого интеграл в выражении (2.9.3) обращается в нуль; в этом формально можно убедиться с помощью тождества

формулы Остроградского — Гаусса и на основании предполагаемой малости при больших

Чтобы найти приближение более высокого порядка для скорости следует разложить в ряд Тейлора функцию и сохранить в нем на один член больше, как при получении (2.9.2). При более сильном ограничении, состоящем в том, что имеет порядок когда велико, для получается выражение

Это выражение можно легко обосновать, заметив, что на основании формулы Остроградского — Гаусса и предполагаемой малости величины при больших

В результате получается

Таким путем приходим к асимптотическому выражению скорости

которое, очевидно, имеет такую же форму, как и асимптотическое выражение (2.9.2). В случае отдельной замкнутой вихревой нити интенсивности х, линейный элемент которой есть , имеем

где векторный элемент любой открытой поверхности, ограниченной вихревой нитью (направление нормали выбирается в сторону вращения вихревой нити, характеризующегося вектором а вектор А — полный вектор площади этой поверхности, зависящий только от формы замкнутой вихревой нити. Следовательно, асимптотическое выражение для скорости дает распределение соленоидальной скорости, связанное с одиночной замкнутой вихревой нитью с бесконечно малыми размерами, расположенной в начале координат так, что произведение ее интенсивности на вектор площади, ограниченной этой нитью, равно

Итак, мы нашли, что в случае, когда полная скорость объемного расширения равна нулю, скорости при

имеют одинаковые асимптотические выражения, представляют собой величины порядка и изображают поле скоростей, связанное либо с диполем источников, либо с одиночной замкнутой вихревой нитью, расположенной в начале координат.