Крылья большого относительного размаха и теория «несущей линии»

Для вычисления подъемной силы и силы индуктивного сопротивления, действующих на крыло заданной формы и заданного положения, можно использовать методы теории невязкой жидкости, если крыло имеет острую кормовую кромку и отрыва пограничного слоя вверх по потоку от нее не происходит. Основная трудность связана с определением напряженности и положения вихрей, которые тянутся вниз по потоку от крыла и оказывают влияние на течение вблизи него. Ланчестер и Прандтль еще на заре развития аэронавтики заложили основы теории для вычисления при определенных условиях этой системы вихрей, а также подъемной силы и силы индуктивного сопротивления, действующих на крыло. Эта теория до сих пор имеет важное значение при конструировании и испытаниях крыльев самолетов, предназначенных для дозвуковых скоростей полета; мы сейчас кратко ее обсудим.

Теория основана на двух главных предположениях относительно рассматриваемого крыла. Первое из них — спутные вихри считаются прямолинейными и параллельными направлению полета — позволяет упростить выражение для поля скорости, индуцированной вихревой пеленой. В действительности вихревые линии движутся вместе с жидкостью и вследствие существования в поперечной плоскости ненулевой компоненты скорости (которая возникает под влиянием этих же вихрей) спутные вихри оказываются наклоненными к направлению полета. Однако при условии, что эти вихри достаточно слабы (а это эквивалентно требованию достаточно малой подъемной силы крыла), мы можем ожидать, что предположение о прямых спутных вихрях, параллельных

поскольку вихревая пелена не бесконечна в обе стороны, а ограничена с одной стороны несущей линией, то соответствующий вклад будет равен половине указанной величины. Присоединенный вихрь на несущей линии не дает вклада в индуцированную скорость на самой несущей линии (хотя, конечно, он индуцирует вокруг нее некоторую циркуляцию). Следовательно, получаем вертикальную компоненту скорости в точке которую обозначим через

здесь берется главное значение интеграла.

Важно также рассмотреть обтекание крыла в масштабе хорды. Согласно второму из наших двух основных предположений, изменение параметров течения по размаху крыла настолько мало, что обтекание любого сечения крыла, подобного изображенному на рис. 7.8.3, б, можно считать двумерным. Отсюда следует, что местное значение циркуляции К определяется гипотезой Жуковского и формой сечения крыла. Однако форма крыла в целом все же оказывает влияние на обтекание каждого сечения крыла. Решающий момент рассматриваемой теории состоит в том, что при введенных выше предположениях вертикальная скорость, индуцированная спутной вихревой системой крыла, приближенно постоянна в окрестности любого его сечения (т. е. в области, сравнимой по линейному размеру с хордой крыла); следовательно, влияние этой скорости на обтекание сечения крыла равносильно малому изменению направления скорости невозмущенного потока. Мы видим, что двумерное обтекание сечения крыла в точке соответствует обтеканию профиля однородным потоком со скоростью под углом атаки

где а — угол между хордой крыла и направлением его полета, определяется соотношением (7.8.2).

Теперь, чтобы продвинуться дальше, нужно дополнить нашу теорию несущей линии данными об обтекании сечения крыла. Как было установлено в § 6.7, для всех профилей в двумерном потоке циркуляция изменяется по линейному закону в зависимости от хорды с, скорости и угла атаки (если угол атаки достаточно мал при обычных условиях полета). Мы можем, следовательно, написать

где как и в § 6, 7 - угол атаки, соответствующий нулевой подъемной силе; а — постоянная, равная в обозначениях

Рис. 7.8.4. Вихревая система несущей линии. Дугообразные стрелки указывают фактическое направление циркуляции в случае, когда подъемная сила действует в положительном направлении оси

Пусть циркуляция в точке на крыле превосходит ее значение в точке z на величину тогда, применяя теорему Стокса к полосе, ограниченной двумя подобными замкнутыми кривыми, которые охватывают крыло и лежат в нормальных к оси z плоскостях, проведенных через указанные точки, заключаем, что спутная завихренность, сходящая с участка крыла между точками должна иметь величину 8 К (как обычно, направление против часовой стрелки в плоскости считается положительным); иначе говоря, плотность напряженности (§ 2.6) сходящих вихрей в точке z равна Это означает, что вся вихревая система, содержащая свободные спутные вихри и присоединенный вихрь на несущей линии, представляется системой вихревых нитей прямоугольной формы; одна сторона шириной таких прямоугольников расположена на крыле, другая — на бесконечности вниз по потоку. Циркуляция вокруг крыла на его концах должна уменьшаться до нулевого значения, и если это уменьшение происходит быстро, то плотность напряженности вихревой пелены должна иметь большую величину вблизи концов крыла.

В дальнейшем нам потребуется величина скорости в точке на несущей линии, индуцированная всей вихревой системой крыла. Из геометрической формы системы ясно, что индуцированная скорость направлена вертикально. Если через обозначить напряженность элементарного участка вихревой пелены, простирающейся от до и отсекающей на несущей линии отрезок от z до то вклад в индуцированную вертикальную скорость (см. от этой напряженности составит

§ 6.7; величина а для тонких профилей Жуковского в полностью безвихревом потоке приближенно равна как показывают наблюдения, ненамного отличается от для большинства профилей.

Если параметры заданы как функции координаты то соотношения (7.8.2) и (7.8.3) дают интегральное уравнение для определения циркуляции Когда функция найдена, определяется полная подъемная сила крыла:

Поскольку эффективный поток, в котором находится каждое сечение крыла, не точно параллелен направлению полета, то существует малая компонента поперечной силы, параллельная этому направлению; интеграл от этой компоненты по размаху крыла определяет индуктивное сопротивление

Иногда оказывается полезным заменить переменную z на следующим образом:

На концах крыла циркуляция К равна нулю, так что мы можем ее представить в виде ряда Фурье

более того, так как циркуляция симметрична относительно то коэффициенты при четных обращаются в нуль. Из (7.8.2) для находим

здесь была использована величина определенного интеграла, найденная в § 6.9. Коэффициенты можно теперь найти численным путем из (7.8.3), воспользовавшись стандартными приближенными методами. Соотношения (7.8.4) и (7.8.5) для компонент сил, действующих на крыло, становятся теперь такими:

Эти различные формы записи для приводят к интересному результату: для заданной полной подъемной силы крыла заданного размаха индуктивное сопротивление имеет минимальную величину, если распределение циркуляции таково, что

т. е. если

Соответствующая индуцированная скорость равна постоянной величине по всему размаху крыла, а индуктивное сопротивление равно

что вполне соответствует выражению (7.8.1).

Представленная соотношением (7.8.9) «эллиптическая нагрузка» крыла может быть реализована различными способами: посредством подходящих распределений по размаху крыла хорды профиля, его формы и угла атаки. Простой способ, имеющий еще то преимущество, что нагрузка остается эллиптической при изменении угла атаки, состоит в том, что величины выбираются постоянными по всему размаху, а крыло берется эллиптической формы в плане, т. е.

(Очевидно, что обвод крыла может быть составлен из двух половин эллипсов с разными малыми осями.) В нашем случае эллиптического крыла из сравнения (7.8.3) и (7.8.8) заключаем, что

Таким образом, «скос потока», обусловленный вихревой пеленой, создает для всего крыла эффективный угол атаки (относительно положения крыла с нулевой подъемной силой), величина которого в раз меньше его кажущегося значения; подъемная сила крыла также уменьшается во столько же раз относительно того значения, которое она имела бы, если бы каждое сечение крыла действовало как изолированный двумерный профиль.

Поскольку а и поскольку необходимое условие справедливости нашего анализа есть то указанный выше множитель, на который изменяется угол атаки вследствие скоса потока, будет мало отличаться от единицы. Это служит иллюстрацией того факта, что теория несущей линии существенно связана с малым возмущением картины течения на крыле бесконечного

размаха. Имеются также теории «несущей поверхности», в которых учитываются распределения вертикальной силы на крыле как по размаху, так и по хорде крыла; при этом обычно используются идеи, изложенные в данном параграфе, и теория тонкого профиля из § 6.9. В рассматриваемых здесь условиях можно развить процесс последовательных приближений для определения распределения силы, действующей на крыло большого относительного размаха; приведенная выше теория несущей линии представляет собой первое приближение в этом процессе (в качестве «нулевого» приближения служит теория двумерного обтекания крыла бесконечного размаха) 2). В соответствии с процедурой последовательных приближений заметим, что поскольку член играет роль возмущающего в выражении (7.8.3), то его можно оценить с той точностью, которую дает теория несущей линии; для этого нужно использовать невозмущенное значение циркуляции в интервале (7.8.2). Иначе говоря, с приближением теории несущей линии согласуется аппроксимация решения уравнений (7.8.2) и (7.8.3) квадратурой

где

В случае эллиптического в плане крыла и при постоянных по размаху значениях это эквивалентно заключению, что выражение (7.8.10) и связанные с ним соотношения справедливы только с точностью до первого порядка величины