Комплексный потенциал двумерного безвихревого соленоидалъного течения

В частном случае двумерного поля, и только в этом случае, скорость удовлетворяет соотношениям такого вида, что можно изящно и эффективно использовать теорию функций комплексного переменного. Применение этой теории к двумерному полю течения частного вида подробно рассматривается в гл. 6; здесь же мы просто остановимся на основных математических соотношениях.

Компоненты вектора в двух измерениях для безвихревого течения можно написать в виде

С другой стороны, компоненты соленоидального вектора в двух измерениях можно выразить через функцию тока (см. § 2.2)

Две скалярные функции и независимо определяют безвихревой и соленоидальный вектор очевидно, связаны друг с другом соотношениями

Два уравнения точно такой же формы, как и (2.7.12), хорошо известны в теории функций комплексного переменного как условия Коши — Римана для комплексной величины являющейся функцией х и у такого специального вида, что она зависит только от комбинации причем и функция имеет единственную производную по В обычной терминологии это означает, что соотношения (2.7.12) представляют собой необходимые и достаточные условия того, чтобы функция была аналитической (или регулярной) функцией комплексного аргумента в той области, в которой четыре частные производные из (2.7.12) конечны и непрерывны; тогда действительные функции называются сопряженными.

Будем писать

и называть функцию комплексным потенциалом течения, описываемого действительными функциями и

Непосредственное следствие такой связи с теорией функций комплексного переменного состоит в том, что любую аналитическую функцию z независимо от ее вида можно рассматривать как комплексный потенциал и как изображение некоторого возможного безвихревого соленоидального поля течения в двух измерениях. Более того, если аналитическая функция от то также аналитическая функция, так что по одной функции можно построить два поля течения; для одного из них функции и приравниваются соответственно действительная и мнимая части функции а для другого соответственно.

Некоторые другие свойства сопряженных функций и вытекают из соотношений (2.7.12). Как функция так и функция удовлетворяют уравнению Лапласа

Так как

то эквипотенциальные линии, на которых постоянна, в общем случае ортогональны линиям тока, на которых постоянна; этот вывод нарушается только в точке, где (как это видно из примера на рис. 2.7.2). Поскольку производная

не зависит от направления дифференциала в плоскости (х, у), то для удобства можно считать, что предел берется по параллельному оси х, и тогда

Выбирая теперь параллельным оси у (так что находим

Если через обозначить модуль вектора а через угол между направлением вектора и осью х, то выражение для принимает вид

Все эти соотношения используются далее в различных частных случаях.