Фильтрация через пористую среду

Когда грунтовая вода под влиянием градиента давления вынуждена двигаться через почву, каждая ее частица, проходя через нерегулярно расположенные поры между частицами почвы, описывает сложную траекторию. Пусть характерный линейный размер этих пор, характерная скорость движущейся жидкости в порах; следует ожидать, что в установившемся движении силы инерции будут иметь порядок а силы вязкости — порядок Силы инерции будут малы по сравнению с силами вязкости, если

и тогда основные уравнения движения сводятся к уравнениям и (4.8.2). Это условие удовлетворяется в большинстве случаев движения грунтовых вод и во многих других случаях просачивания жидкости через пористые твердые тела, и соответствующие законы течений с очень малыми инерционными силами имеют большое практическое значение.

Так как подробных данных о геометрической форме пор, заполняемых жидкостью, не имеется и, более того, они были бы непригодны вследствие их сложности, то обычно вводят зависимые переменные, которые по существу представляют собой средние величины для большого числа пор. Мы можем определить «локальную» скорость и установившегося течения через пористую среду как такую, которая имеет компоненты, равные объемному потоку жидкости на единицу площади через три плоские элемента поверхности, перпендикулярные к координатным осям, причем линейные размеры их намного больше характерного размера Такое определение, конечно, будет иметь смысл только тогда, когда можно найти длину, одновременно большую по сравнению с d и малую по сравнению с линейными размерами внешних границ. Подобным же образом можно определить давление равное среднему значению давления по некоторому объему жидкости, достаточно большому, чтобы заполнить много пор, но малому по линейным размерам в сравнении с полем всего течения.

Уравнения, описывающие действительное течение вне и внутри пор, линейны, и можно ожидать, что поток жидкости через данную часть пористой среды, содержащую достаточно много пор, пропорционален приложенному к ней градиенту давления и обратно пропорционален точно так же, как если бы среда состояла из ряда трубок малого диаметра, в каждой из которых реализуется

течение Пуазейля. Если пористая среда имеет статистически изотропную структуру, так что приложенные к ней градиенты давления во всех направлениях дают одинаковый поток, то можно написать

где k — постоянная, называемая коэффициентом проницаемости и зависящая от размера и формы пор (для данной формы пор она пропорциональна квадрату их линейных размеров). Соотношение (4.8.21) известно как закон Дарси (Дарси (1856)) и имеет долгую историю использования в механике грунтов для самых различных пористых сред. Оно обосновывается в основном приведенными выше теоретическими рассуждениями и частично его соответствием с измерениями течений, возникающих под действием приложенных градиентов давления в однородных средах типа песка.

Соотношение (4.8.21) означает, что, когда пористая среда статистически однородна, а коэффициент проницаемости к не зависит от координат, скорость и есть скорость безвихревого течения с потенциалом пропорциональным давлению, как и в случае течения Хеле-Шоу. Уравнение сохранения массы, осредненное указанным выше способом, приводит к уравнению и соответственно

Это уравнение нужно решать, подчиняя его условиям обращения в нуль нормальной производной от на непроницаемой поверхности и условию постоянного значения на свободной поверхности жидкости. (В случае воды, просачивающейся через почву, свободная поверхность воды в виде границы сред воздух — вода может быть и внутри грунта.) Таким путем были решены многие практические задачи, касающиеся фильтрации под плотинами, изменения уровня грунтовых вод вблизи стенок, приливного движения грунтовой воды вблизи побережья, фильтрации нефти и газа и т. п.