§ 28. Сложение гармонических колебаний

Независимые гармонические колебания могут складываться друг с другом. Например, в точке разветвления проводов трехфазной сети переменного тока (соединенных «звездой») складываются различные синусоидальные переменные токи (см. § 109). В результате возникает более сложное колебание, характер которого зависит от соотношения фаз, частот, амплитуд и направлений слагаемых колебаний. Рассмотрим несколько наиболее простых случаев сложения гармонических колебаний.

Сложение двух колебаний одного направления

1. Круговые частоты а фазы колебаний одинаковы, амплитуды различны:

Тогда

т. е. возникает гармоническое колебание такой же частоты с амплитудой, равной сумме амплитуд слагаемых колебаний.

2. Круговые частоты и амплитуды одинаковы, фазы различны:

где — разность фаз. Тогда, применяя формулу сложения синусов, получим

Возникает гармоническое колебание такой же частоты, но отличающееся по фазе от первичных колебаний на половину разности фаз этих колебаний. Амплитуда вообще говоря, меньше суммы амплитуд первичных колебаний. Только при разности фаз, кратной При разности фаз, равной и слагаемые колебания взаимно «гасятся».

3. Амплитуды одинаковы, круговые частоты мало отличаются друг от друга:

Тогда

Результирующее колебание оказывается не гармоническим, так как оно не соответствует уравнению (2). Однако учитывая, что (согласно

условию) можно считать результирующее колебание почти гармоническим, имеющим круговую частоту

период

и амплитуду

которая очень медленно периодически изменяется со временем (круговая частота колебаний амплитуды слишком мала, поэтому период колебаний амплитуды будет большим). Такого рода колебания называются биениями. График биений, построенный по уравнению (7), представлен на рис. 47.

Рис. 47

Процесс возникновения и характер биений нетрудно представить себе, даже не прибегая к расчетам и рисунку. В самом деле, вначале фазы слагаемых колебаний совпадают, поэтому амплитуда результирующего колебания максимальна. Затем первое колебание постепенно отстает по фазе от второго и амплитуда результирующего колебания делается меньше суммы амплитуд исходных колебаний. По мере нарастания разности фаз результирующая амплитуда уменьшается. Когда разность фаз составит исходные колебания взаимно «пога-сятся» и результирующая амплитуда станет равной нулю. При дальнейшем увеличении разности фаз амплитуда начнет возрастать. Когда разность фаз составит амплитуда достигнет максимума, затем опять уменьшится до нуля и т. д.

Перейдем теперь к случаям, когда частица (или тело) совершает одновременные колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний

1. Круговые частоты и фазы одинаковы, амплитуды различны:

где х и у — смещения тела, вызванные первым и вторым колебаниями. Тогда

Это уравнение прямой. Следовательно, результирующее колебание совершается вдоль прямой, проходящей через положение равновесия под углом а к направлению первого колебания (рис. 48):

Рис. 48

Величина результирующего смещения

где амплитуда результирующего колебания.

2. Круговые частоты одинаковы, фазы различаются амплитуды различны:

Тогда

это уравнение эллипса. Следовательно, результирующее движение тела совершается по эллипсу, полуоси которого равны амплитудам слагаемых колебаний (рис. 49). Сопоставляя уравнения (8) и рис. 49, нетрудно установить, что тело при движении будет описывать эллипс по часовой стрелке. Очевидно, что при разности фаз, равной тело описывает такой же эллипс против часовой стрелки.

Рис. 49

Если то уравнение эллипса переходит в уравнение окружности и тело будет описывать окружность.

Не останавливаясь на анализе более сложных случаев сложения колебаний отметим только, что форма и расположение эллипса зависят от величины разности фаз 8. По мере изменения разности фаз эллипс поворачиваться в плоскости слагаемых колебаний вокруг положения равновесия О. Кроме того, он будет деформироваться, оставаясь при этом вписанным в прямоугольник со сторонами, равными удвоенным амплитудам слагаемых колебаний (прямоугольник изображен на рис. 49 пунктиром). При эллипс вырождается в прямую линию. На рис. 50 представлены траектории колеблющегося тела при некоторых значениях разности фаз. Стрелками указаны направления движения тела по траектории.

Рис. 50

Если слагаемые колебания имеют различную частоту, то траектории результирующего движения тела будут весьма сложными и разнообразными по форме (фигуры Лиссажу).

Описанные формы траекторий можно непосредственно наблюдать на экране электронного осциллографа (см. § 102), если сообщить электронному лучу одновременные колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.