§ 47. Явления переноса в газах. Уравнение переноса

Хаотическое движение газовых молекул ведет к непрерывному перемешиванию газа. С этим связан ряд следующих важных явлений, происходящих в газах.

Если в различных частях объема газа плотность была первоначально не одинаковой, то стечением времени она выравняется. Точно так же два различных газа находящихся в соприкосновении, равномерно перемешиваются между собою. Это явление называется диффузией (как уже отмечалось в § 36).

В объеме газа, части которого имели первоначально различную температуру, происходит постепенное выравнивание температура за счет переноса молекулами своей энергии (см. § 43)

Это явление называется теплопроводностью (молекулярной).

Пусть газ течет вдоль твердой горизонтальной поверхности АВ (рис. 85). Если на достаточно большом расстоянии от поверхности его скорость равна до, то прилегающий к ней слой газа 1 будет двигаться очень медленно благодаря трению о поверхность. Второй слой газа 2 будет двигаться уже быстрее, но все же не со скоростью до, так как он испытывает трение о первый слой.

Рис. 85

Рис. 86

Третий слой 3, испытывая трение торой слой, будет двигаться еще быстрее, и т.д. На достаточно большом расстоянии от горизонтальной поверхности скорость течения газа станет, наконец, равной Трение между слоями газа обусловлено переносом молекулами из слоя в слой своего количества движения (см. § 8). Это явление называется внутренним трением, или вязкостью. Таким образом, благодаря внутреннему трению газ движется вблизи поверхности параллельными слоями, скорость которых убывает в направлении перпендикулярном поверхности. Такое движение называется ламинарным.

Все названные ранее явления обусловлены одной причиной — переносом молекулами газа (в процессе хаотического движения) своих физических характеристик: массы (диффузия), или энергии (теплопроводность), или количества движения (внутреннеетрение). Поэтому механизм всех этих явлений одинаков и все они объединены общим названием явлений переноса.

Исходя из представлений молекулярно-кинетической теории выведем общее для явлений переноса уравнение переноса. С этой целью определим прежде всего количество молекул, переходящее за промежуток времени через некоторую воображаемую площадку помещенную в газе (рис. 86). Ориентируем ось перпендикулярно

площадке Ввиду хаотичности движения молекул допустим (как это уже делалось в § 41 при выводе основного уравнения кинетической теория газа), что вдоль этой оси движется 1/3 часть всех молекул: 1/6 часть — слева направо и 1/6 часть — справа налево. Тогда за единицу времени через площадку перейдет слева направо 1/6 часть всех молекул, находящихся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием и высотой, равной средней скорости движения молекул где число молекул в единице объема газа (концентрация молекул). В таком случае число молекул переходящих через площадку за время в одном направлении, выразится формулой

Эти молекулы переносят через площадку и значения своих физических характеристик (массу, энергию, количество движения и т. п.). Рассматривая общий механизм переноса, не будем пока конкретизировать, какую именно физическую характеристику переносят молекулы, и обозначим ее буквойф. Тогда количество физической характеристики, перенесенное молекулами в одном направлении через площадку за время

Очевидно, что такое же количество будет перенесено и в обратном направлении.

Предположим теперь, что рассматриваемый газ неоднороден по своим свойствам, т. е. концентрация его молекул различна в разных местах объема газа и сами молекулы имеют неодинаковые значения физической величины Тогда количество физической величины содержащееся в единице объема газа, также будет различным в разных местах объема газа. Пусть количество убывает в положительном направлении будучи равным слева от площадки справа от нее. В этом случае имеет место преимущественный перенос физической величины через площадку слева направо; согласно формуле (38), он равен

Теперь остается выяснить, исходя из физических соображений, на каком расстоянии от площадки следует взять значения Обмен значениями и изменение концентрации происходят только при взаимостолкновениях молекул, т. е. на

Рис. 87

расстоянии X, равном средней длине свободного пробега молекул. Поэтому можно положить, что значения величины сохраняются неизменными на расстоянии X влево и вправо от На этих расстояниях и будем брать значения Умножив и разделив на правую часть формулы (39), получим

Как видно на рис. 87, отношение представляет собой градиент величины который мы условились обозначать символом (см. § 3). Тогда формула (40) примет вид

Знак минус обусловлен тем, что перенос физической величины происходит в направлении, противоположном градиенту направлен справа налево, а перенос слева направо).

Формула (41) называется уравнением переноса. На его основе рассмотрим теперь конкретные явления переноса: диффузию, теплопроводность и внутреннее трение.