§ 9. Алгебраические функции

К числу алгебраических функций относятся элементарные функции следующего вида:

1. Целая рациональная функция или. многочлен

где - постоянные числа, называемые коэффициентами; n — целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена. Очевидно, что эта функция определена при всех значениях , т. е. определена на бесконечном интервале.

Пример 1. — линейная функция. При линейная функция выражает прямую пропорциональную зависимость у от х.. При функция есть постоянная

Пример 2. - квадратичная функция. График квадратичной функции есть парабола (рис. 21).

Рис. 21.

Эти функции подробно рассматривались в аналитической геометрии.

II. Дробная рациональная функция. Эта функция определяется как отношение двух многочленов:

Дробной рациональной функцией является, например, функция выражающая обратную пропорциональную зависимость. Ее график изображен на рис. 22.

Рис. 22.

Очевидно, что дробная рациональная функция определена при всех значениях кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль.

III. Иррациональная функция. Если в формуле

в правой части производятся операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональными нецелыми показателями, то функция у от называется иррациональной.

Примеры иррациональных функций: и т. п.

Замечание 1. Перечисленные три вида алгебраических функций не исчерпывают всех алгебраических функций. Алгебраической функцией называется любая функция которая удовлетворяет уравнению вида

где — некоторые многочлены от х.

Можно доказать, что каждая из функций перечисленных трех видов удовлетворяет некоторому уравнению вида (1), но не всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (1), является функцией одного из перечисленных видов.

Замечание 2. Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Примеры трансцендентных функций: и т.п.