§ 4. Бесконечно малые и их основные свойства

В этом параграфе будем рассматривать функции, стремящиеся к нулю при некотором характере изменения, аргумента.

Определение. Функция называется бесконечно малой при или при если или .

Из определения предела следует, что если, например, то это значит, что для любого наперед заданного произвольно малого положительного найдется такое, что для всех удовлетворяющих условию будет удовлетворяться условие

Пример 1. Функция есть бесконечно малая при , так как

Пример 2. Функция есть бесконечно малая при пример 3 § 2).

Установим важное для дальнейшего соотношение:

Теорема 1. Если функция y = f(x) представляется в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой а:

то

Обратно, если то можно написать , где а — бесконечно малая.

Доказательство. Из равенства (1) следует Но при произвольном все значения а, начиная с некоторого, удовлетворяют соотношению следовательно, для всех значений у, начиная с некоторого, будет выполняться неравенство это и значит, что

Рис. 39.

Рис. 40.

Обратно: если , то при произвольном для всех значений у, начиная с некоторого, будет Но если обозначим , то, следовательно, для всех значений а, начиная с некоторого, будет а это значит, что а — бесконечно малая.

Пример 3. Пусть дана функция (рис. 41) , тогда и наоборот, так как то переменную у можно представить в виде суммы предела 1 и бесконечно малой а, равной в данном случае а.

Рис. 41.

Теорема 2. Если стремится к нулю при (или при ) и не обращается в нуль, то стремится к бесконечности.

Доказательство. При любом как угодно большом М > 0 будет выполняться неравенство если только будет выполняться неравенство . Последнее неравенство будет выполняться для всех значений а, начиная с некоторого, так как а

Теорема 3. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще определенного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно аналогично.

Пусть и где Докажем, что при произвольном как угодно малом найдется такое, что при удовлетворении неравенства будет выполняться неравенство Так как а есть бесконечно малая, то найдется такое что в окрестности с центром в точке а и радиусом будет

Так как есть бесконечно малая, то найдется такое , что в окрестности с центром в точке а и радиусом будет

Возьмем равным меньшей из величин тогда в окрестности точки а с радиусом будут выполняться неравенства Следовательно, в этой окрестности будет

т. е. | и | < е, что и требовалось доказать.

Аналогично приводится доказательство и для случая, когда

Замечание. В дальнейшем нам придется рассматривать такие суммы бесконечно малых величин, что с уменьшением каждого слагаемого число слагаемых увеличивается. В этом случае утверждение теоремы может оказаться и неверным. Рассмотрим, например, , где принимает только целые положительные значения . Очевидно, что каждое слагаемое при есть бесконечно малая, но сумма не есть бесконечно малая.

Теорема 4. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию при а есть бесконечно малая величина (функция).

Доказательство Проведем доказательство для случая Для некоторого найдется такая окрестность точки , в которой будет удовлетворяться неравенство . Для всякого найдется окрестность, в которой будет выполняться неравенство . В меньшей из этих двух окрестностей будет выполняться неравенство

А это и значит, что бесконечно малая. Для случая доказательство проводится аналогично. Из данной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если , то , так как есть величина ограниченная. Это справедливо для любого конечного числа множителей.

Следствие 2. Если , то .

Теорема 5. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Пусть На основании теоремы 2 § 3 следует, что есть величина ограниченная. Поэтому дробь есть произведение величины бесконечно малой на величину ограниченную, т. е. величина бесконечно малая.