§ 10. Интерполяционная формула Ньютона

Пусть известны значение функции , а именно при значении аргумента При этом разность между соседними значениями аргумента постоянна.

Обозначим ее через h. Таким образом имеем таблицу значений неизвестной функции при соответствующих значениях аргумента.

Составим многочлен степени не выше , который принимает соответствующие значения при соответствующих значениях х. Этот многочлен будет приближенно представлять функцию

Предварительно введем обозначения

Это так называемые разности 1-го, 2-го,..., n-го порядка.

Напишем многочлен, принимающий значения соответ» етвенно при Это будет многочлен 1-й степени

Действительно,

Напишем многочлен, принимающий значения соответственно при . Это будет многочлен 2-й степени

Действительно,

Многочлен третьего порядка будет иметь вид

Наконец, многочлен порядка, принимающий значения соответственно при будет иметь

вид

в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Это и есть интерполяционная форм или интерполяционный многочлен Ньютона.

По существу, многочлен Лагранжа и многочлен Ньютона для данной таблицы значений тождественны, но по-разному написаны, так как многочлен степени не выше , принимающий заданные значений при данных значениях находится единственным образом.

Во многих случаях интерполяционный многочлен Ньютона более удобен, чем интерполяционный многочлен Лагранжа. Особенность этого многочлена заключается в том, что при переходе от многочлена степени к многочлену степени первые членов не меняются, а только добавляется новый член, который равен нулю при всех предыдущих значениях аргумента.

Замечание. По интерполяционным формулам Лагранжа (см. формулу (3) § 9) и Ньютона (формула ) определяются значения функции на отрезке Если по этим формулам определяется значение функции при (это можно делать при малом то говорят, что производится экстраполяция таблицы назад. Если определяется значение функции при то говорят, что производится экстраполяция таблицы вперед.