§ 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

До сих пор мы систематически изучали интегралы только от алгебраических функций (рациональных и иррациональных). В настоящем параграфе мы рассмотрим интегралы от некоторых классов неалгебраических, в первую очередь тригонометрических функций. Рассмотрим интеграл вида

Покажем, что этот интеграл с помощью подстайовки

всегда сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим через а следовательно, и через

Далее

Таким образом, выразились рационально через t. Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (1), получим интеграл от рациональной функции:

Пример 1. Рассмотрим интеграл На основании написанных имеем

Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида Поэтому ее иногда называют «универсальной тригонометрической подстановкой». Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с «универсальной» подстановкой бывает полезно знать также другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

1) Если интеграл имеет вид то подстановка приводит этот интеграл к виду

2) Если интеграл имеет вид , то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой

3) Если подынтегральная функция зависит только от то замена этот интеграл

к интегралу от рациональной функции:

4) Если подынтегральная функция имеет вид , но входят только в четных степенях, то применяется та же подстановка

так как выражаются рационально через

После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Этот интеграл легкр привести к виду

Действительно,

Сделаем замену Тогда

Пример 3. Вычислить Сделаем замену

5) Рассмотрим теперь еще один интеграл вида именно, интеграл, под знаком которого стоит произведение (где — целые числа). Здесь рассмотрим три случая.

a) , где тип таковы, что по крайней мере одно из них — нечетное число. Допустим для определенности, что нечетное. Положим и преобразуем интеграл:

Сделаем замену переменной: Подставляя новую переменную в данный интеграл, получим

а это есть интеграл от рациональной функции от

Пример 4. . Обозначая , получим

б) , где тип — числа неотрицательные и четные. Положим Напишем формулы, известные из тригонометрии:

Подставляя в интеграл, получим

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие в нечетных и четных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае а). Четные показатели степеней снова понижаем по формулам (3). Продолжая так, дойдем до членов вида которые легко интегрируются. Пример 5.

в) Если оба показателя четные, причем хотя бы один из них отрицателен, то предыдущий прием не приводит к цели. Здесь следует сделать замену

Пример 6.

Положим тогда и мы получаем

6) Рассмотрим в заключение интегралы вида

Они берутся при помощи следующих формул

Подставляя и интегрируя, получим

Аналогично вычисляются и два других интеграла.

Пример 7.