§ 10. Полярная система координат
Положение точки на плоскости можно определить с помощью так называемой полярной системы координат.
На плоскости выбираем некоторую точку О, называемую полюсом, и выходящую из этой точки полупрямую, называемую полярной осью. Положение точки М на плоскости можно определить двумя числами: числом 
, выражающим расстояние точки М от полюса, и числом 
— величиной угла, образованного отрезком ОМ с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла (
считается направление против часовой стрелки. Числа 
называются полярными координатами точки М (рис. 23).
Рис. 23.
Рис. 24.
Радиус-вектор 
будем всегда считать неотрицательным. Если полярный угол 
брать в пределах 
то каждой точке плоскости, кроме полюса, соответствует вполне определенная пара чисел 
Для полюса 
произвольное.
Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами. Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси 
с полярной осью. Из рис. 24 непосредственно следует:
и, обратно, 
Примечание. При нахождении 
нужно учитывать, в какой четверти находится точка, и брать соответствующее значение 
Уравнение 
в полярной системе координат определяет некоторую линию.
Пример 1. Уравнение 
где 
определяет в полярных координатах окружность с центром в полюсе и радиусом а. Уравнение этой окружности (рис. 25) в прямоугольной системе координат, расположенной так, как указано на рис. 24, будет 
или 
.
Пример 2. 
, где 
. Составим таблицу значений 
при некоторых значениях 
:
Соответствующая кривая изображена на рис. 26. Эта кривая называется спиралыо Архимеда.
Пример 
Это уравнение окружности радиуса а, центр которой находится в точке 
Рис. 25.
Рис. 26.
Рис. 27.
Напишем уравнение этой окружности в прямоугольных координатах. Подставляя в данное уравнение 
будем иметь 
или 
