§ 11. Интегралы вида ...

Рассмотрим интеграл

где

Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции от новой переменной с помощью следующих подстановок Эйлера.

1. Первая, подстановка Эйлера. Если то полагаем

Перед корнем возьмем для определенности знак плюс. Тогда

откуда х определяется как рациональная функция от

(значит, тоже будет выражаться рационально через t), следовательно,

т. e. оказывается рациональной функцией от

Так как выражаются рационально через t, то, следовательно, данный интеграл (1) преобразуется в интеграл от рациональной функции от

Пример 1. Требуется вычислить интеграл

Решение. Так как здесь то полагаем

откуда

Следовательно,

Возвращаясь к исходному интегралу, получаем

(см. формулу 14 таблицы интегралов).

2. Вторая подстановка Эйлера. Если то полагаем

тогда (перед для определенности берем знак плюс)

Отсюда определяется как рациональная функция от

Так как тоже выражаются рационально через t, то, подставляя значения в интеграл мы сведем его к интегралу от рациональной функции от

Пример 2. Требуется вычислить интеграл

Решение. Полагаем тогда

Подставляя полученный выражения в исходный интеграл, находим

3. Третья подстановка Эйлера. Пусть — действительные корни трехчлена . Полагаем

Так как , то . Отсюда находим как рациональную функцию от

Так как тоже рационально зависят от t, то данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от

Замечание 1. Третья подстановка Эйлера применима не только при но и при лишь бы многочлен имел два действительных корня.

Пример 3, Требуется вычислить интеграл

Решение. Так как то полагаем

тогда Возвращаясь к исходному интегралу, получаем

Замечание 2. Заметим, что для приведения интеграла (1) к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Эйлера. Рассмотрим трехчлен с. Если то корни трехчлейа действительны и, следовательно, применима третья подстановка Эйлера. Если то в этом случае

и, следовательно, трехчлен имеет знак, совпадающий со знаком . Чтобы был действительным, нужно, чтобы трехчлен был положительным, а следовательно, должно быть . В этом случав применима первая подстановка.