Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ДОПОЛНЕНИЕ. МЕТОД ВНУТРЕННИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙВ теории краевых задач для аналитических функций, т. е. для решений системы уравнений Коши — Римана, а также для решений более общих систем уравнений с частными производными, применяется метод сингулярных интегральных уравнений. Он состоит в сведении краевых задач к некоторым интегральным уравнениям на границе рассматриваемой области. При этом в дополнение к заданным граничным условиям используются следствия самой системы дифференциальных уравнений — соотношения, которым Должны удовлетворять функции (и их нормальные производные) на границе области, чтобы их можно было доопределить внутри области до некоторого решения соответствующей системы. В случае аналитических функций — это классическое условие Сохоцкого — Племеля, которое возникает при переходе в интегральной формуле Коши
к пределу при стремлении Метод внутренних граничных условий по идее аналогичен описанному методу редукции краевых задач для уравнений с частными производными к интегральным уравнениям на границе. Роль дополнительных граничных условий, аналогичных условию Сохоцкого — Племеля, играют внутренние граничные условия, возникающие из разностного аналога интегральной формулы Коши (или разностного аналога формулы Грина). 1. Класс систем разностных уравнений. Рассматриваются краевые задачи для общих систем разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которые в векторной записи имеют вид
где
где
Это ограничение естественно: можно показать, что в случае 2. Фундаментальное решение.Матричную функцию
Лемма. Пусть Доказательство проведем индукцией по числу аргументов t. При
где M — некоторое натуральное число и Теорема 1. Матрица
является фундаментальным решением. Здесь Доказательство получается непосредственной проверкой. Учитывая свойства вычетов, получаем
3. Граница сеточной области.Рассмотрим уравнение (1) на некотором ограниченном множестве
где
множество
Рис. 57. Множество К — из пяти векторов 4. Разностные аналоги интегральных формул Коши и типа Коши.Лемма. Пусть
Доказательство. Вектор-функцию
Левая и правая части тождества (7) линейно зависят от и. Поэтому для доказательства достаточно проверить справедливость тождества (7) для вектор-функции
при каждом фиксированном
Теорема 2. Пусть
Доказательство. Помножим обе части равенства (6) слева на матрицу Следствие. Каждое решение Теорема 3. Пусть
задает некоторое решение уравнения (6). Доказательство. Применим оператор L к вектор-функции
Вычислим правую часть. В силу (4) имеем
Но в силу определения множества Равенство (8) аналогично интегральной формуле Коши для аналитических функций
При этом роль аналитических функций, границы области и ядра Коши - играют соответственно решения Формулу (9) в таком случае естественно сравнить с интегральной формулой типа Коши. Формула (8) аналогична также формуле Грина для уравнения Лапласа. Подчеркнем, однако, следующее существенное различие между формулами (11) и (8): интегральная формула Коши справедлива только строго внутри области d, а разностная формула (8)- всюду на D, включая точки границы Г. Аналогичное различие имеется также между формулой (9) и формулой Грина. 5. Внутренние граничные условия.Теорема 4. Пусть
Доказательство. Если Доказанная теорема 4 дает основание назвать равенства (12) внутренними граничными условиями: эти условия не задаются извне, а являются следствиями самого разностного уравнения. Если формулы (8) и (9) трактовать как аналоги интегральных формул Коши и типа Коши, то внутренние граничные условия аналогичны классическим условиям Сохоцкого — Племеля, при которых заданную на границе у области d на комплексной плоскости функцию Формулу (8) можно понимать как адекватную системе (6) разностную формулу Грина, которая неявно учитывает «скачки потенциалов» на границе Г и приводит к внутренним граничным условиям (12). 6. Оператор граничного проектирования.Возможна отличная от (12) запись внутренних граничных условий. Будем обозначать через Определим линейное отображение
Теорема 5. Оператор Р есть оператор проектирования Доказательство. Действительно, при любом Оператор Р, определенный формулой (13), будем называть оператором граничного проектирования. С его помощью внутренние граничные условия (12) в случае
Подчеркнем, что оператор граничного проектирования зависит от выбора фундаментального решения 7. Общая краевая задача.В силу следствия из теоремы 2 каждое решение уравнения (6) восстанавливается по его значениям на границе Г. Это дает основание определить общую линейную краевую задачу для уравнения (6) как краевую задачу вида
где Естественные разностные схемы, аппроксимирующие первую, вторую или третью краевые задачи для уравнения Пуассона, например, легко записать в виде (15). Название «общая краевая задача» несколько условно: могут встретиться разностные краевые задачи, имеющие иной, чем (15), вид. Например, таковы естественные разностные схемы для дифференциальных краевых задач, в которых порядок дифференциального уравнения ниже порядка дифференциальных краевых условий. 8. Основная идея метода внутренних граничных условий.Пусть для простоты
и между задачей
существует тесная связь. Именно, граничные значения 9. Устойчивость внутренних граничных условий.Можно опасаться, что внутренние граничные условия Будем считать, что пространство Ф вложено в пространство UF, введем в пространстве Теорема 6. Пусть задача (17) имеет решение
где с от
Тогда справедлива оценка
Если рассматривать (19) как уравнения для определения Доказательство. Обозначим
В силу теоремы 5 имеем
т. e. удовлетворяет системе вида
Отсюда с учетом тождества 10. Дополнительная идея.Изложим полезную при численном решении краевых задач для уравнений с частными производными идею применительно к следующей задаче. Пусть функция
и требуется найти производную
в направлении внутренней нормали. Такая задача возникает, если по температуре Под s понимается длина дуги вдоль границы у. причем будем считать для определенности, что полная длина границы у есть
будем искать приближено в виде частичной суммы
ее ряда Фурье. Для определения коэффициентов Зададим
и разностное уравнение
Отнесем к соседними точками принадлежат
записанной в виде ряда с неопределенными коэффициентами, продолжить решение по формуле Тейлора с границы у в приграничную полоску, где лежит граница сеточной области
из условия минимизации невязки, возникающей при подстановке продолженной с границы Y в приграничную полоску функции 11. Сопоставление метода внутренних граничных условий с методом сингулярных интегральных уравнений.В начале Дополнения мы указывали на аналогию между методом внутренних граничных условий и методом сингулярных интегральных уравнений, которая не является полной. Здесь мы сопоставим эти методы, уточняя аналогию и выявляя существенные различия. Для сопоставления сначала опишем идею метода сингулярных интегральных уравнений для дифференциальных краевых задач на примере задачи
где Выпишем классическую формулу Грина для уравнения (21):
где
связывающее решение Для сравнения рассмотрим теперь метод внутренних граничных условий применительно к следующей общей краевой задаче для разностного аналога уравнения (21) в квадратной сеточной области
Запишем внутренние граничные условия Легко проверить, что формула (9) в этом случае может быть переписана в форме
где Заметим, что формула (27) была бы полным аналогом классической формулы Грина (23), если бы в ее правой части отсутствовало «сингулярное слагаемое» Ьгпиг Однако в таком хлучае равенство (27) имело бы место не при всех
отвечающих, соответственно, точкам Можно показать, что внутренние граничные условия Подсистема (28) аналогична интегральному соотношению (24), так что разностным аналогом задачи (22), (24) является задача (27), (28), но не задача
записываемая равенствами Имеется очевидная разница между внутренними граничными условиями
содержат избыточные равенства (29). В этом смысле разностные внутренние граничные условия
больше похожи не на интегральное соотношение (24), а на условия Сохоцкого — Племеля для аналитических функций. Эти последние представляют собой два вещественных соотношения, связывающих две вещественных функции, но они не независимы, и многообразие удовлетворяющих условиям Сохоцкого — Племеля пар функций зависит от одной произвольной вещественной функции. Отметим, что внутренние граничные условия
выгодно отличаются от равносильной им подсистемы (28) тем, что в их структуру входит оператор граничного проектирования. Благодаря этому обстоятельству задача
устойчива в смысле теоремы 6 относительно возмущения правой части Можно показать, что в нашем примере (25), (26) вместо
удобнее использовать не подсистему (28), а подсистему (29), которая устойчива и в отличие от подсистемы (28) состоит из независимых уравнений — ее ранг равен числу составляющих ее уравнений. Итак, в рассматриваемом примере аналогия между методом внутренних граничных условий и методом сингулярных интегральных уравнений, аналогичных условию Сохоцкого — Племеля, не является полной. Тем более, нет полной аналогии с классическим методом интегральных уравнений, в котором искомой функцией является не само решение исходной задачи (21), (22) на границе, а некоторая вспомогательная плотность потенциала простого или двойного слоя. В заключение заметим, что мы употребляем выражение «метод сингулярных интегральных уравнений», поскольку условие Сохоцкого — Племеля содержит сингулярный интеграл. В примере этого пункта условие (26) содержит сходящиеся несобственные интегралы.
|
1 |
Оглавление
|