ГЛАВА 8. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

§ 25. Спектральный анализ разностной задачи Коши

Мы изложим широко применяемый способ Неймана исследования разностных задач с начальными данными. В этом параграфе ограничимся случаем разностной задачи Коши с постоянными коэффициентами, а в § 26 частично распространим результаты на случай переменных коэффициентов.

1. Устойчивость по начальным данным.

Простейшим примером разностной задачи Коши может служить неоднократно встречавшаяся выше задача

Положив

запишем задачу (1) в форме

Определим нормы равенствами

Тогда условие устойчивости задачи (2)

примет вид

где с не зависит от h (и от ). Условие (4) должно выполняться при произвольных . В частности, для устойчивости необходимо, чтобы оно выполнялось при произвольных , т. е. чтобы решение задачи

удовлетворяло условию

При произвольной ограниченной функции

Свойство (6), необходимое для устойчивости (4) задачи (1), называют устойчивостью задачи (1) относительно возмущения начальных данных. Оно означает, что возмущение внесенное в начальные данные задачи (1), вызовет возмущение решения задачи (1), которое в силу (6) не более чем в с раз превосходит возмущение начальных данных, причем с не зависит от h.