2. Определение обобщенного решения.

Напомним формулу Грина, которой будем пользоваться при определении обобщенного решения задачи (1). Пусть D — произвольная область с границей Г на плоскости и пусть имеют в области D непрерывные вплоть до границы Г частные производные. Тогда справедлива следующая формула Грина:

Выражение есть дивергенция вектора .

Формула Грина (3) означает, что интеграл от дивергенции векторного поля Ф по области D равен потоку вектора Ф через границу Г этой области.

Переходим к определению понятия обобщенного решения. Запишем дифференциальное уравнение из задачи (1) в дивергентной форме:

Проинтегрируем обе части уравнения (4) по произвольной области D, лежащей в полуплоскости t 0. Получим

Таким образом, каждое дифференцируемое решение уравнения (4) удовлетворяет интегральному соотношению

где Г — произвольный контур, лежащий в полуплоскости . Равенство (5) выражает некоторый закон сохранения: поток вектора через любой замкнутый контур равен нулю.

Покажем, что, и обратно, если гладкая функция удовлетворяет при любом контуре Г интегральному закону сохранения (5), то в каждой точке выполнено равенство (4). Предположим противное, и пусть для определенности в некоторой точке будет

Тогда в силу непрерывности можно найти столь малый круг D с границей Г и с центром в точке всюду в котором

Возникшее противоречие доказывает, что из (5) в случае гладкой функции следует (4), так что (4) и (5) равносильны. Но в случае разрывной функции дифференциальное уравнение (1) или (4) на линии разрыва теряет смысл, а интегральное условие (5) смысла не теряет. Поэтому будем называть обобщенным решением уравнения (4) всякую кусочно-дифференцируемую функцию, удовлетворяющую при произвольном выборе контура Г в полуплоскости t 0 условию (5).